Номер 26, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Решите уравнение:

1) $4^x = 9$;

2) $6^{x-5} = 24$;

3) $10^{3x+1} = 8.$

1) Исходное уравнение: $4^x = 9$.
Для решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4. По определению логарифма, $x$ - это степень, в которую нужно возвести основание 4, чтобы получить 9.
$x = \log_4 9$
Это выражение можно упростить. Представим 4 как $2^2$ и 9 как $3^2$:
$x = \log_{2^2} 3^2$
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$, получаем:
$x = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$.
Другой способ:
$4^x = 9$
$(2^2)^x = 3^2$
$2^{2x} = 3^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$2^x = 3$
Отсюда по определению логарифма:
$x = \log_2 3$.
Ответ: $x = \log_2 3$.

2) Исходное уравнение: $6^{x-5} = 24$.
По определению логарифма, показатель степени $x-5$ равен логарифму числа 24 по основанию 6:
$x-5 = \log_6 24$
Выразим $x$, перенеся 5 в правую часть:
$x = 5 + \log_6 24$
Упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Представим 24 как $6 \cdot 4$:
$x = 5 + \log_6 (6 \cdot 4) = 5 + (\log_6 6 + \log_6 4)$
Так как $\log_6 6 = 1$:
$x = 5 + 1 + \log_6 4 = 6 + \log_6 4$.
Ответ: $x = 6 + \log_6 4$.

3) Исходное уравнение: $10^{3x+1} = 8$.
По определению логарифма, показатель степени $3x+1$ равен десятичному логарифму числа 8. Десятичный логарифм ($\log_{10}$) принято обозначать как $\lg$.
$3x+1 = \lg 8$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$3x = \lg 8 - 1$
$x = \frac{\lg 8 - 1}{3}$
Это выражение можно упростить. Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$. Так как $8 = 2^3$, то $\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2$.
Подставим это в выражение для $x$:
$x = \frac{3 \lg 2 - 1}{3}$
Разделив числитель почленно на знаменатель, получим:
$x = \frac{3 \lg 2}{3} - \frac{1}{3} = \lg 2 - \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \lg 2 - \frac{1}{3}$.