Страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Найдите значение выражения:

1) $ \log_{0.5} \log_3 81; $

2) $ \log_4 \sin \frac{\pi}{6}; $

3) $ \log_{121} 11 - 6\log_7 \sqrt[3]{7} + \log_5 \frac{1}{25}; $

4) $ \log_{18} 3 + \log_{18} 6; $

5) $ \log_{13} 26 - \log_{13} 2; $

6) $ \frac{\log_4 0,0001}{\log_4 10}; $

7) $ \log_{\sqrt{2}} 1024; $

8) $ 6^{3\log_6 2}; $

9) $ 49^{1+\log_7 2}; $

10) $ 2^{\frac{1}{2\log_{81} 2}}. $

1) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_3 81$. Так как $81 = 3^4$, то $log_3 81 = 4$. Теперь исходное выражение принимает вид $log_{0.5} 4$. Представим $0.5$ как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$, а $4$ как $2^2$. По определению логарифма $log_{a}b = c \iff a^c = b$, имеем $log_{2^{-1}}(2^2)$. Используя свойство $log_{a^k} b = \frac{1}{k}log_a b$, получаем $log_{2^{-1}}(2^2) = \frac{1}{-1}log_2(2^2) = -1 \cdot 2 = -2$.

Ответ: -2

2) Сначала найдем значение $\sin(\frac{\pi}{6})$. Из тригонометрии известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Выражение примет вид $log_4(\frac{1}{2})$. Пусть $log_4(\frac{1}{2}) = x$, тогда по определению логарифма $4^x = \frac{1}{2}$. Представим обе части как степени двойки: $(2^2)^x = 2^{-1}$, что равносильно $2^{2x} = 2^{-1}$. Приравнивая показатели степени, получаем $2x=-1$, откуда $x=-\frac{1}{2}$.

Ответ: -0,5

3) Вычислим каждое слагаемое по отдельности. Первое слагаемое: $log_{121} 11 = log_{11^2} 11 = \frac{1}{2}log_{11} 11 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Второе слагаемое: $6log_7 \sqrt[3]{7} = 6log_7(7^{1/3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2$. Третье слагаемое: $log_5(\frac{1}{25}) = log_5(5^{-2}) = -2 \cdot log_5 5 = -2$. Теперь сложим все части: $\frac{1}{2} - 2 + (-2) = 0.5 - 4 = -3.5$.

Ответ: -3,5

4) Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$. Получаем $log_{18} 3 + log_{18} 6 = log_{18}(3 \cdot 6) = log_{18} 18$. Так как $log_a a = 1$, то $log_{18} 18 = 1$.

Ответ: 1

5) Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$. Получаем $log_{13} 26 - log_{13} 2 = log_{13}(\frac{26}{2}) = log_{13} 13$. Так как $log_a a = 1$, то $log_{13} 13 = 1$.

Ответ: 1

6) Применим формулу перехода к новому основанию для логарифмов: $\frac{log_c a}{log_c b} = log_b a$. В нашем случае $c=4$, $a=0.0001$, $b=10$. Следовательно, $\frac{log_4 0.0001}{log_4 10} = log_{10} 0.0001$. Так как $0.0001 = 10^{-4}$, то $log_{10} 0.0001 = log_{10}(10^{-4}) = -4$.

Ответ: -4

7) Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $1024 = 2^{10}$.$log_{\sqrt{2}} 1024 = log_{2^{1/2}} 2^{10}$. Используя свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}log_a b$, получаем $\frac{10}{1/2}log_2 2 = 20 \cdot 1 = 20$.

Ответ: 20

8) Используя свойство $k \cdot log_a b = log_a(b^k)$, преобразуем показатель: $3log_6 2 = log_6(2^3) = log_6 8$. Выражение принимает вид $6^{log_6 8}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, получаем $6^{log_6 8} = 8$.

Ответ: 8

9) Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем $49^{1 + log_7 2} = 49^1 \cdot 49^{log_7 2}$. Преобразуем второй множитель: $49^{log_7 2} = (7^2)^{log_7 2} = 7^{2 \cdot log_7 2} = 7^{log_7(2^2)} = 7^{log_7 4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, имеем $7^{log_7 4} = 4$. Итоговое значение: $49 \cdot 4 = 196$.

Ответ: 196

10) Упростим показатель степени. Используем свойство $\frac{1}{k \cdot log_b a} = \frac{1}{k} \cdot log_a b$. В нашем случае показатель равен $\frac{1}{2\log_{81} 2} = \frac{1}{2}log_2 81$. Далее используем свойство $k \cdot log_a b = log_a(b^k)$: $\frac{1}{2}log_2 81 = log_2(81^{1/2}) = log_2(\sqrt{81}) = log_2 9$. Тогда исходное выражение равно $2^{log_2 9}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, получаем $2^{log_2 9} = 9$.

Ответ: 9

25. Решите уравнение:

1) $\log_7 x = 2;$

2) $\log_{\sqrt[4]{5}} x = 8;$

3) $\log_{\frac{1}{6}} x = -1;$

4) $\log_x 128 = 7;$

5) $\log_{x+3} 256 = 4;$

6) $\log_x 32 = \frac{5}{3}.$

1) $\log_7 x = 2$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно показательному уравнению:

$x = 7^2$

Вычисляем значение $x$:

$x = 49$

Область допустимых значений для логарифма требует, чтобы аргумент был положителен ($x > 0$). В нашем случае $49 > 0$, поэтому решение верно.

Ответ: $49$.

2) $\log_{\sqrt[4]{5}} x = 8$

Согласно определению логарифма, переходим к показательному уравнению:

$x = (\sqrt[4]{5})^8$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и подставим в уравнение:

$x = (5^{1/4})^8$

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 8} = 5^2$

$x = 25$

Проверка ОДЗ: $x > 0$. $25 > 0$, следовательно, решение корректно.

Ответ: $25$.

3) $\log_{\frac{1}{6}} x = -1$

Используя определение логарифма, получаем:

$x = (\frac{1}{6})^{-1}$

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x = \frac{1}{1/6} = 6$

Проверка ОДЗ: $x > 0$. $6 > 0$, решение верно.

Ответ: $6$.

4) $\log_x 128 = 7$

Переходим к показательному уравнению по определению логарифма:

$x^7 = 128$

Заметим, что $128$ является степенью числа $2$: $128 = 2^7$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x^7 = 2^7$

Отсюда следует, что $x = 2$.

ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Наше решение $x=2$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $2$.

5) $\log_{x+3} 256 = 4$

По определению логарифма:

$(x+3)^4 = 256$

Представим $256$ как степень с показателем 4. Мы знаем, что $256 = 4^4$.

$(x+3)^4 = 4^4$

Так как показатель степени четный, то основание может быть как положительным, так и отрицательным:

$x+3 = 4$ или $x+3 = -4$

Решаем каждое уравнение:

1) $x+3 = 4 \implies x = 1$

2) $x+3 = -4 \implies x = -7$

Проверим найденные корни по ОДЗ для основания логарифма. Основание $x+3$ должно быть больше нуля и не равно единице:

$x+3 > 0 \implies x > -3$

$x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Корень $x=1$ удовлетворяет условиям ($1 > -3$ и $1 \neq -2$).

Корень $x=-7$ не удовлетворяет условию $x > -3$, поэтому является посторонним.

Ответ: $1$.

6) $\log_x 32 = \frac{5}{3}$

Перепишем уравнение в показательной форме:

$x^{\frac{5}{3}} = 32$

Заметим, что $32 = 2^5$.

$x^{\frac{5}{3}} = 2^5$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную показателю при $x$, то есть в степень $\frac{3}{5}$:

$(x^{\frac{5}{3}})^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}}$

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}}$

$x^1 = 2^3$

$x = 8$

Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Решение $x=8$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $8$.

26. Решите уравнение:

1) $4^x = 9$;

2) $6^{x-5} = 24$;

3) $10^{3x+1} = 8.$

1) Исходное уравнение: $4^x = 9$.
Для решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4. По определению логарифма, $x$ - это степень, в которую нужно возвести основание 4, чтобы получить 9.
$x = \log_4 9$
Это выражение можно упростить. Представим 4 как $2^2$ и 9 как $3^2$:
$x = \log_{2^2} 3^2$
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$, получаем:
$x = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$.
Другой способ:
$4^x = 9$
$(2^2)^x = 3^2$
$2^{2x} = 3^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$2^x = 3$
Отсюда по определению логарифма:
$x = \log_2 3$.
Ответ: $x = \log_2 3$.

2) Исходное уравнение: $6^{x-5} = 24$.
По определению логарифма, показатель степени $x-5$ равен логарифму числа 24 по основанию 6:
$x-5 = \log_6 24$
Выразим $x$, перенеся 5 в правую часть:
$x = 5 + \log_6 24$
Упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Представим 24 как $6 \cdot 4$:
$x = 5 + \log_6 (6 \cdot 4) = 5 + (\log_6 6 + \log_6 4)$
Так как $\log_6 6 = 1$:
$x = 5 + 1 + \log_6 4 = 6 + \log_6 4$.
Ответ: $x = 6 + \log_6 4$.

3) Исходное уравнение: $10^{3x+1} = 8$.
По определению логарифма, показатель степени $3x+1$ равен десятичному логарифму числа 8. Десятичный логарифм ($\log_{10}$) принято обозначать как $\lg$.
$3x+1 = \lg 8$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$3x = \lg 8 - 1$
$x = \frac{\lg 8 - 1}{3}$
Это выражение можно упростить. Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$. Так как $8 = 2^3$, то $\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2$.
Подставим это в выражение для $x$:
$x = \frac{3 \lg 2 - 1}{3}$
Разделив числитель почленно на знаменатель, получим:
$x = \frac{3 \lg 2}{3} - \frac{1}{3} = \lg 2 - \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \lg 2 - \frac{1}{3}$.

27. Найдите значение выражения:

1) $\left(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6}\right)^{\log_7 2}$;

2) $\frac{2\log_5 6 + \log_5 0,75}{\log_5 6 - \log_5 18}$.

1) $(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6})^{\log_7 2}$

Решим задачу по шагам, сначала упростив выражение в скобках.

Шаг 1: Упростим сумму логарифмов $\log_{14} 2 + \log_{14} 7$. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_{14} 2 + \log_{14} 7 = \log_{14} (2 \cdot 7) = \log_{14} 14$

По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно:

$\log_{14} 14 = 1$

Шаг 2: Упростим слагаемое $5^{\log_5 6}$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 6} = 6$

Шаг 3: Подставим полученные значения в выражение в скобках:

$(\log_{14} 2 + \log_{14} 7 + 5^{\log_5 6}) = (1 + 6) = 7$

Шаг 4: Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

$(7)^{\log_7 2}$

Шаг 5: Снова применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 2} = 2$

Ответ: 2

2) $\frac{2\log_5 6 + \log_5 0,75}{\log_5 6 - \log_5 18}$

Сначала упростим числитель, а затем знаменатель дроби.

Шаг 1: Упростим числитель $2\log_5 6 + \log_5 0,75$.

Применим свойство логарифма степени $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$2\log_5 6 = \log_5 (6^2) = \log_5 36$

Теперь числитель имеет вид $\log_5 36 + \log_5 0,75$. Применим свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_5 36 + \log_5 0,75 = \log_5 (36 \cdot 0,75)$

Вычислим произведение: $36 \cdot 0,75 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27$.

Таким образом, числитель равен $\log_5 27$.

Шаг 2: Упростим знаменатель $\log_5 6 - \log_5 18$.

Применим свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:

$\log_5 6 - \log_5 18 = \log_5 (\frac{6}{18}) = \log_5 (\frac{1}{3})$

Шаг 3: Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 (\frac{1}{3})}$

Шаг 4: Для дальнейшего упрощения представим аргументы логарифмов в виде степеней числа 3. $27 = 3^3$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3\log_5 3$

$\log_5 (\frac{1}{3}) = \log_5 (3^{-1}) = -1 \cdot \log_5 3 = -\log_5 3$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{3\log_5 3}{-\log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: -3

28. Вычислите значение выражения

$7^{\frac{2}{\log_{\sqrt{2}}7} + \frac{1}{3}\log_7 8} - 3\log_9 \sqrt{9\sqrt[3]{9}}$

Для вычисления значения выражения разобьем его на две части и решим каждую по отдельности.

1. Вычислим значение выражения $7^{\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} + \frac{1}{3}\log_{7} 8}$

Сначала упростим показатель степени $\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} + \frac{1}{3}\log_{7} 8$.

Преобразуем первое слагаемое в показателе, используя формулу перехода к другому основанию логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} = 2 \cdot \log_7 \sqrt{2}$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_b a = \log_b a^n$:

$2 \cdot \log_7 \sqrt{2} = \log_7 ((\sqrt{2})^2) = \log_7 2$.

Теперь преобразуем второе слагаемое в показателе, используя то же свойство:

$\frac{1}{3}\log_{7} 8 = \log_7 8^{\frac{1}{3}} = \log_7 \sqrt[3]{8} = \log_7 2$.

Сложим полученные значения, чтобы найти весь показатель степени:

$\log_7 2 + \log_7 2 = 2\log_7 2$.

Подставим упрощенный показатель обратно в выражение:

$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$7^{\log_7 4} = 4$.

2. Вычислим значение выражения $3\log_{9}\sqrt{9\sqrt[3]{9}}$

Упростим выражение под знаком логарифма, представив его как степень с основанием 9:

$\sqrt{9\sqrt[3]{9}} = \sqrt{9^1 \cdot 9^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{9^{1+\frac{1}{3}}} = \sqrt{9^{\frac{4}{3}}} = (9^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 9^{\frac{4}{6}} = 9^{\frac{2}{3}}$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в логарифм:

$3\log_{9}(9^{\frac{2}{3}})$.

Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем:

$3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

3. Найдем итоговое значение

Теперь вычтем значение второй части из значения первой:

$4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

29. Найдите значение выражения

$\frac{4 - \lg^2 3}{3\lg \sqrt[3]{100} - \lg 3} - \lg 3.$

Для решения данного выражения необходимо выполнить следующие шаги по его упрощению.

Исходное выражение:

$$ \frac{4 - \lg^2 3}{3\lg\sqrt[3]{100} - \lg 3} - \lg 3 $$

1. Упростим знаменатель дроби. Рассмотрим первое слагаемое в знаменателе: $3\lg\sqrt[3]{100}$.

Представим $\sqrt[3]{100}$ в виде степени числа 10:

$$ \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10^2} = 10^{\frac{2}{3}} $$

Подставим это в выражение. Напомним, что $\lg$ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

$$ 3\lg\sqrt[3]{100} = 3\lg(10^{\frac{2}{3}}) $$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, вынесем показатель степени за знак логарифма:

$$ 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \lg 10 $$

По определению десятичного логарифма, $\lg 10 = 1$.

$$ 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = 2 $$

Таким образом, знаменатель дроби равен: $2 - \lg 3$.

2. Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{4 - \lg^2 3}{2 - \lg 3} - \lg 3 $$

3. Теперь упростим числитель дроби: $4 - \lg^2 3$. Это выражение является разностью квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=\lg 3$. Разложим его по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ 4 - \lg^2 3 = 2^2 - (\lg 3)^2 = (2 - \lg 3)(2 + \lg 3) $$

4. Подставим разложенный числитель в дробь:

$$ \frac{(2 - \lg 3)(2 + \lg 3)}{2 - \lg 3} - \lg 3 $$

Сократим дробь на общий множитель $(2 - \lg 3)$:

$$ (2 + \lg 3) - \lg 3 $$

5. Выполним последнее действие:

$$ 2 + \lg 3 - \lg 3 = 2 $$

Ответ: $2$

30. Постройте график функции:

1) $y = 8^{\log_8(x+4)};$

2) $y = \log_{x-3}(x-3);$

3) $y = \log_2 \log_{6-x} (6-x)^{16};$

4) $y = \log_5 x \cdot \log_x \frac{1}{125}.$

1) Дана функция $y = 8^{\log_8(x+4)}$.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x+4 > 0$
$x > -4$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-4; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (при $a>0, a\neq1, b>0$), получаем:
$y = x+4$
Графиком функции является часть прямой $y = x+4$. Учитывая ОДЗ, это луч, который начинается в точке с абсциссой $x = -4$. Поскольку неравенство в ОДЗ строгое, точка, соответствующая $x=-4$, то есть $(-4, 0)$, не принадлежит графику (является "выколотой").
Ответ: Графиком функции является луч, заданный уравнением $y=x+4$, с выколотой начальной точкой $(-4, 0)$.

2) Дана функция $y = \log_{x-3}(x-3)$.
Найдем область определения функции. Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться три условия: аргумент $a > 0$, основание $b > 0$ и основание $b \neq 1$.
В данном случае основание и аргумент совпадают, поэтому условия следующие:
1) $x-3 > 0 \implies x > 3$
2) $x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя свойство логарифма $\log_a a = 1$ (при $a>0, a \neq 1$).
$y = 1$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=1$. Учитывая ОДЗ, это луч с началом в точке $(3,1)$, из которого выколота сама начальная точка и точка $(4,1)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=1$ при $x>3$ с выколотыми точками $(3,1)$ и $(4,1)$.

3) Дана функция $y = \log_2 \log_{6-x} (6-x)^{16}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ), рассмотрев оба логарифма.
1. Для внутреннего логарифма $\log_{6-x}(\dots)$: основание должно быть положительным и не равным единице.
$6-x > 0 \implies x < 6$
$6-x \neq 1 \implies x \neq 5$
Аргумент этого логарифма $(6-x)^{16}$ должен быть положителен. Так как показатель степени четный, это выполняется всегда, кроме случая, когда $6-x=0$, т.е. $x=6$. Это условие уже учтено в $x<6$.
2. Для внешнего логарифма $\log_2(\dots)$: его аргумент, то есть $\log_{6-x} (6-x)^{16}$, должен быть положительным. Упростим его:
$\log_{6-x} (6-x)^{16} = 16 \cdot \log_{6-x} (6-x) = 16 \cdot 1 = 16$.
Поскольку $16 > 0$, это условие выполняется для всех $x$ из области определения внутреннего логарифма.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; 6)$.
Теперь упростим исходную функцию:
$y = \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$.
$y = 4$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=4$. Учитывая ОДЗ, это луч, идущий из минус бесконечности и заканчивающийся в точке $(6,4)$, из которого выколота сама конечная точка и точка $(5,4)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=4$ при $x<6$ с выколотыми точками $(5,4)$ и $(6,4)$.

4) Дана функция $y = \log_5 x \cdot \log_x \frac{1}{125}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_5 x$ аргумент должен быть положительным: $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{125}$ основание должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 5:
$\log_x \frac{1}{125} = \frac{\log_5 (1/125)}{\log_5 x}$
Подставим это в исходное выражение:
$y = \log_5 x \cdot \frac{\log_5 (1/125)}{\log_5 x}$
На ОДЗ ($x \neq 1$), знаменатель $\log_5 x \neq 0$, поэтому на него можно сократить:
$y = \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) = -3$.
$y = -3$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=-3$. Учитывая ОДЗ, это луч, начинающийся от оси OY (при $x=0$) и идущий вправо, с выколотой начальной точкой $(0,-3)$ и выколотой точкой $(1,-3)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=-3$ при $x>0$ с выколотыми точками $(0, -3)$ и $(1, -3)$.