Страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $6(\sqrt{3}+1)^2 : 6^2\sqrt{3};$

2) $7\sqrt{27} : 49\sqrt{3};$

3) $((\sqrt[3]{10})\sqrt{6})^{\sqrt{6}}.$

1)

Предположим, что данное выражение является степенным, так как это приводит к рациональному ответу, что типично для задач такого рода. Выражение выглядит так: $6^{(\sqrt{3}+1)^2} : 6^{2\sqrt{3}}$.

Сначала упростим показатель степени в первом члене, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$6^{4+2\sqrt{3}} : 6^{2\sqrt{3}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$6^{(4+2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}} = 6^{4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}} = 6^4$.

Осталось вычислить значение $6^4$:

$6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 1296$.

Ответ: 1296.

2)

Запишем исходное выражение $7\sqrt{27} : 49\sqrt{3}$ в виде дроби:

$\frac{7\sqrt{27}}{49\sqrt{3}}$

Упростим корень в числителе. Так как $27 = 9 \cdot 3$, то $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Подставим это значение в дробь:

$\frac{7 \cdot 3\sqrt{3}}{49\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{49\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{21}{49}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$\frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$.

3)

Дано выражение $((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к выражению:

$((\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = (\sqrt[3]{10})^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$

Упростим показатель степени:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$

Теперь выражение имеет вид:

$(\sqrt[3]{10})^6$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.

Подставим это в выражение:

$(10^{\frac{1}{3}})^6$

Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$10^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 10^{\frac{6}{3}} = 10^2$

Вычислим результат:

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

2. Упростите выражение:

1) $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5) - (a\sqrt{7} + 2)^2$;

2) $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9}$.

1) $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5) - (a\sqrt{7} + 2)^2$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Упростим первое слагаемое $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5)$.
Применим формулу разности квадратов, где $x = a\sqrt{7}$ и $y = 5$:
$(a\sqrt{7})^2 - 5^2 = a^2(\sqrt{7})^2 - 25 = 7a^2 - 25$.

2. Упростим второе слагаемое $(a\sqrt{7} + 2)^2$.
Применим формулу квадрата суммы, где $x = a\sqrt{7}$ и $y = 2$:
$(a\sqrt{7})^2 + 2 \cdot a\sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7a^2 + 4a\sqrt{7} + 4$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(7a^2 - 25) - (7a^2 + 4a\sqrt{7} + 4)$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$7a^2 - 25 - 7a^2 - 4a\sqrt{7} - 4 = (7a^2 - 7a^2) - 4a\sqrt{7} - (25 + 4) = 0 - 4a\sqrt{7} - 29 = -4a\sqrt{7} - 29$.

Ответ: $-4a\sqrt{7} - 29$.

2) $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9}$

Выражение в знаменателе, скорее всего, содержит опечатку, так как в текущем виде дробь не сокращается осмысленным образом, кроме вынесения общего множителя в числителе: $\frac{a\sqrt{2}(a+3)}{a^2\sqrt{2} - 9}$.

В подобных задачах обычно предполагается возможность сокращения. Наиболее вероятная опечатка — пропущенный множитель $\sqrt{2}$ у числа 9 в знаменателе. Решим задачу с предположением, что исходное выражение должно выглядеть так: $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2}}$.

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: $a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2} = \sqrt{2}(a^2 + 3a)$.
Знаменатель: $a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = \sqrt{2}(a^2 - 9)$.

2. Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{\sqrt{2}(a^2 + 3a)}{\sqrt{2}(a^2 - 9)} = \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 9}$.

3. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем $a$: $a^2 + 3a = a(a+3)$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

4. Перепишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}$.

5. Сократим общий множитель $(a+3)$, при условии, что $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.
$\frac{a}{a-3}$.

Область допустимых значений исходного (исправленного) выражения: $a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} \neq 0$, что означает $\sqrt{2}(a^2-9) \neq 0$, то есть $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

Ответ: $\frac{a}{a-3}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $4^{0,7}$ и $4^{\frac{2}{3}};

2) $(\frac{5}{9})^6$ и $(\frac{5}{9})^7;

3) $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $1;

4) $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}};

5) $(\sqrt{2})^{-3}$ и $(\sqrt{2})^{-4};

6) $(2-\sqrt{3})^3$ и $(2-\sqrt{3})^4.

1) Сравниваем $4^{0,7}$ и $4^{\frac{2}{3}}$.
Основание степени равно $4$, что больше 1. Показательная функция $y = 4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции.
Сравним показатели степеней: $0,7$ и $\frac{2}{3}$.
Представим $0,7$ в виде обыкновенной дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$.
Приведем дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{2}{3}$ к общему знаменателю $30$:
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}$
Так как $\frac{21}{30} > \frac{20}{30}$, то $0,7 > \frac{2}{3}$.
Поскольку функция $y = 4^x$ возрастающая, из $0,7 > \frac{2}{3}$ следует, что $4^{0,7} > 4^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $4^{0,7} > 4^{\frac{2}{3}}$.

2) Сравниваем $(\frac{5}{9})^6$ и $(\frac{5}{9})^7$.
Основание степени равно $\frac{5}{9}$. Так как $0 < \frac{5}{9} < 1$, показательная функция $y = (\frac{5}{9})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции.
Сравним показатели степеней: $6$ и $7$.
Так как $7 > 6$, а функция убывающая, то $(\frac{5}{9})^7 < (\frac{5}{9})^6$.
Ответ: $(\frac{5}{9})^6 > (\frac{5}{9})^7$.

3) Сравниваем $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $1$.
Основание степени равно $\pi$ (число пи), $\pi \approx 3,14$, что больше 1. Показательная функция $y = \pi^x$ является возрастающей.
Представим $1$ как степень с основанием $\pi$: $1 = \pi^0$.
Теперь задача сводится к сравнению $\pi^{\frac{1}{3}}$ и $\pi^0$.
Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $0$.
Так как $\frac{1}{3} > 0$, а функция возрастающая, то $\pi^{\frac{1}{3}} > \pi^0$.
Следовательно, $\pi^{\frac{1}{3}} > 1$.
Ответ: $\pi^{\frac{1}{3}} > 1$.

4) Сравниваем $1$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Основание степени равно $0,8$. Так как $0 < 0,8 < 1$, показательная функция $y = 0,8^x$ является убывающей.
Представим $1$ как степень с основанием $0,8$: $1 = 0,8^0$.
Теперь задача сводится к сравнению $0,8^0$ и $0,8^{-\sqrt{3}}$.
Сравним показатели степеней: $0$ и $-\sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3} > 0$, то $-\sqrt{3} < 0$.
Поскольку $0 > -\sqrt{3}$, а функция убывающая, то $0,8^0 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Следовательно, $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.
Ответ: $1 < 0,8^{-\sqrt{3}}$.

5) Сравниваем $(\sqrt{2})^{-3}$ и $(\sqrt{2})^{-4}$.
Основание степени равно $\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, что больше 1, показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$ является возрастающей.
Сравним показатели степеней: $-3$ и $-4$.
Так как $-3 > -4$, а функция возрастающая, то $(\sqrt{2})^{-3} > (\sqrt{2})^{-4}$.
Ответ: $(\sqrt{2})^{-3} > (\sqrt{2})^{-4}$.

6) Сравниваем $(2-\sqrt{3})^3$ и $(2-\sqrt{3})^4$.
Оценим основание степени $2-\sqrt{3}$.
Мы знаем, что $1 < 3 < 4$, следовательно $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{3} < 2$.
Из этого следует, что $2-2 < 2-\sqrt{3} < 2-1$, что дает $0 < 2-\sqrt{3} < 1$.
Так как основание степени $a = 2-\sqrt{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y = (2-\sqrt{3})^x$ является убывающей.
Сравним показатели степеней: $3$ и $4$.
Так как $4 > 3$, а функция убывающая, то $(2-\sqrt{3})^4 < (2-\sqrt{3})^3$.
Ответ: $(2-\sqrt{3})^3 > (2-\sqrt{3})^4$.

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{4}{3}} < a^{\frac{6}{5}};$

2) $a^{-1,8} > a^{-1,9};$

3) $a^{-0,4} < 1.$

Для решения данной задачи используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.
- Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Знак неравенства сохраняется.
- Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. Знак неравенства меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $a^{\frac{4}{3}} < a^{\frac{6}{5}}$.
Сначала сравним показатели степеней: $\frac{4}{3}$ и $\frac{6}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{20}{15}$
$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15}$
Так как $20 > 18$, то $\frac{20}{15} > \frac{18}{15}$, следовательно, $\frac{4}{3} > \frac{6}{5}$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $x_1 > x_2$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.
Такое свойство характерно для убывающей показательной функции, основание которой находится в интервале $(0, 1)$.
Следовательно, $0 < a < 1$.
Ответ: $a < 1$.

2) Дано неравенство $a^{-1,8} > a^{-1,9}$.
Сравним показатели степеней: $-1,8$ и $-1,9$.
Очевидно, что $-1,8 > -1,9$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$ при $x_1 > x_2$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
Такое свойство характерно для возрастающей показательной функции, основание которой больше 1.
Следовательно, $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

3) Дано неравенство $a^{-0,4} < 1$.
Представим число 1 как степень с основанием $a$: $1 = a^0$.
Тогда неравенство можно переписать в виде: $a^{-0,4} < a^0$.
Сравним показатели степеней: $-0,4$ и $0$.
Очевидно, что $-0,4 < 0$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $x_1 < x_2$. Это означает, что меньшему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции, то есть знак неравенства для показателей и для значений функции совпадает.
Такое свойство характерно для возрастающей показательной функции, основание которой больше 1.
Следовательно, $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

5. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $2,4^m > 2,4^n$;

2) $0,9^m > 0,9^n$;

3) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^m < \left(\frac{\pi}{4}\right)^n$.

1) Дано показательное неравенство $2,4^m > 2,4^n$.

Для решения сравним основание степени с единицей. Основание $a = 2,4$.

Так как $a = 2,4 > 1$, показательная функция $y = 2,4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства сохраняется.

Из $2,4^m > 2,4^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Дано показательное неравенство $0,9^m > 0,9^n$.

Сравним основание степени с единицей. Основание $a = 0,9$.

Так как $0 < a = 0,9 < 1$, показательная функция $y = 0,9^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

Из $0,9^m > 0,9^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

3) Дано показательное неравенство $(\frac{\pi}{4})^m < (\frac{\pi}{4})^n$.

Сравним основание степени $a = \frac{\pi}{4}$ с единицей. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159...$

Так как $\pi < 4$, то дробь $\frac{\pi}{4} < 1$. При этом $\frac{\pi}{4} > 0$.

Таким образом, основание $0 < a = \frac{\pi}{4} < 1$, и показательная функция $y = (\frac{\pi}{4})^x$ является убывающей. Это означает, что меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

Из $(\frac{\pi}{4})^m < (\frac{\pi}{4})^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

6. Найдите область значений функции:

1) $y = -8x;$

2) $y = 8x - 5;$

3) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6;$

4) $y = 8|x|.$

1) Областью значений показательной функции вида $f(x) = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Для функции $y = -8^x$ мы имеем дело с показательной функцией $8^x$, умноженной на $-1$. Так как $8^x$ всегда принимает положительные значения ($8^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$), то выражение $-8^x$ будет всегда принимать отрицательные значения. Если $8^x > 0$, то, умножая обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-8^x < 0$. Таким образом, область значений функции $y = -8^x$ — это все числа меньше нуля.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = 8^x - 5$. Эта функция является результатом сдвига графика функции $f(x) = 8^x$ на 5 единиц вниз по оси ординат. Область значений функции $f(x) = 8^x$ — это интервал $(0; +\infty)$, что можно записать в виде неравенства $8^x > 0$. Чтобы найти область значений для $y = 8^x - 5$, вычтем 5 из каждой части этого неравенства: $8^x - 5 > 0 - 5$ $y > -5$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, строго большие $-5$.
Ответ: $E(y) = (-5; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6$. Эта функция является результатом сдвига графика функции $f(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ на 6 единиц вверх по оси ординат. Область значений показательной функции $f(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ — это интервал $(0; +\infty)$, так как основание $\frac{1}{8}$ положительно и не равно единице. Это можно записать в виде неравенства $\left(\frac{1}{8}\right)^x > 0$. Чтобы найти область значений для $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6$, прибавим 6 к каждой части этого неравенства: $\left(\frac{1}{8}\right)^x + 6 > 0 + 6$ $y > 6$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, строго большие $6$.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 8^{|x|}$. Выражение в показателе степени, $|x|$, является модулем числа $x$. Область значений модуля — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $|x| \geq 0$. Поскольку основание степени $8 > 1$, показательная функция $f(t) = 8^t$ является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $y = 8^{|x|}$ будет достигнуто при наименьшем значении показателя $|x|$. Наименьшее значение $|x|$ равно 0 (при $x=0$). Подставим это значение в функцию: $y_{min} = 8^0 = 1$. По мере увеличения $|x|$ (то есть при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$), значение $8^{|x|}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, функция принимает значения от 1 (включительно) до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

7. Найдите наименьшее значение функции $y = 0,4^x$ на промежутке $[-4; 2]$.

Дана показательная функция $y = 0,4^x$.

Основание этой функции $a = 0,4$. Так как основание степени удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (в данном случае $0 < 0,4 < 1$), то функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Для монотонно убывающей функции на отрезке наименьшее значение достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение — при наименьшем значении аргумента.

На заданном промежутке $[-4; 2]$ наибольшее значение аргумента $x$ равно 2. Следовательно, наименьшее значение функции будет в точке $x = 2$.

Подставим это значение в функцию и вычислим: $y_{наим} = y(2) = 0,4^2 = 0,16$.

Ответ: 0,16