Номер 4, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{4}{3}} < a^{\frac{6}{5}};$

2) $a^{-1,8} > a^{-1,9};$

3) $a^{-0,4} < 1.$

Для решения данной задачи используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.
- Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Знак неравенства сохраняется.
- Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. Знак неравенства меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $a^{\frac{4}{3}} < a^{\frac{6}{5}}$.
Сначала сравним показатели степеней: $\frac{4}{3}$ и $\frac{6}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{20}{15}$
$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15}$
Так как $20 > 18$, то $\frac{20}{15} > \frac{18}{15}$, следовательно, $\frac{4}{3} > \frac{6}{5}$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $x_1 > x_2$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.
Такое свойство характерно для убывающей показательной функции, основание которой находится в интервале $(0, 1)$.
Следовательно, $0 < a < 1$.
Ответ: $a < 1$.

2) Дано неравенство $a^{-1,8} > a^{-1,9}$.
Сравним показатели степеней: $-1,8$ и $-1,9$.
Очевидно, что $-1,8 > -1,9$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$ при $x_1 > x_2$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
Такое свойство характерно для возрастающей показательной функции, основание которой больше 1.
Следовательно, $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

3) Дано неравенство $a^{-0,4} < 1$.
Представим число 1 как степень с основанием $a$: $1 = a^0$.
Тогда неравенство можно переписать в виде: $a^{-0,4} < a^0$.
Сравним показатели степеней: $-0,4$ и $0$.
Очевидно, что $-0,4 < 0$.
Мы имеем неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ при $x_1 < x_2$. Это означает, что меньшему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции, то есть знак неравенства для показателей и для значений функции совпадает.
Такое свойство характерно для возрастающей показательной функции, основание которой больше 1.
Следовательно, $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.