Номер 9, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 7^{\cos x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 4$.

1) $y = 7^{\cos x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данной функции, проанализируем её составляющие. Область значений функции косинус $E(\cos x)$ находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.

Показательная функция $f(t) = 7^t$ с основанием $7 > 1$ является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $f(t)$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $\cos x = -1$:

$y_{наим} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x = 1$:

$y_{наиб} = 7^1 = 7$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{7}$, наибольшее значение равно $7$.

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 4$

Сначала определим область значений показателя степени. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, область значений модуля синуса: $0 \le |\sin x| \le 1$.

Показательная функция $g(t) = \left(\frac{1}{7}\right)^t$ с основанием $0 < \frac{1}{7} < 1$ является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции $g(t)$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\sin x| = 0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{7}\right)^0 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $|\sin x| = 1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{7}\right)^1 - 4 = \frac{1}{7} - 4 = \frac{1-28}{7} = -\frac{27}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{27}{7}$, наибольшее значение равно $-3$.