Номер 12, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Решите уравнение:

1) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0;$

2) $2 \cdot 4^x - 15 \cdot 2^x - 8 = 0;$

3) $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2;$

4) $36^{x-3} - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0;$

5) $\frac{5}{3^{x+2} - 2} - \frac{4}{3^{x+2} - 1} = 3;$

6) $2^x + 2^{2-x} = 5;$

7) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

8) $\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^x + \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^x = 6.$

1) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - 30y + 125 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 30, а произведение равно 125. Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = 25$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Вернемся к замене:

1) $5^x = y_1 \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

2) $5^x = y_2 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$.

Ответ: $1; 2$.

2) $2 \cdot 4^x - 15 \cdot 2^x - 8 = 0$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

$2 \cdot (2^x)^2 - 15 \cdot 2^x - 8 = 0$

Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$.

$2y^2 - 15y - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $y_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Рассматриваем только $y_1 = 8$.

Возвращаемся к замене: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $3$.

3) $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$3^{2x} \cdot 3^5 = 3^x \cdot 3^2 + 2$

$243 \cdot (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x + 2$

Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$.

$243y^2 - 9y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$

$y_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

$y_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} < 0$

Корень $y_2$ не подходит, так как $y > 0$.

Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{9} \implies 3^x = 3^{-2} \implies x = -2$.

Ответ: $-2$.

4) $36^{x-3} - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0$

Приведем степени к одному основанию и показателю. Удобно выбрать показатель $x-5$.

$36^{x-3} = 36^{(x-5)+2} = 36^{x-5} \cdot 36^2 = (6^2)^{x-5} \cdot 1296 = 1296 \cdot (6^{x-5})^2$

Уравнение принимает вид:

$1296 \cdot (6^{x-5})^2 - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0$

Сделаем замену $y = 6^{x-5}$, где $y > 0$.

$1296y^2 - 252y + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 6:

$216y^2 - 42y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$

$y_1 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

$y_2 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$

Оба корня положительны. Вернемся к замене:

1) $6^{x-5} = y_1 \implies 6^{x-5} = \frac{1}{6} \implies 6^{x-5} = 6^{-1} \implies x-5 = -1 \implies x = 4$.

2) $6^{x-5} = y_2 \implies 6^{x-5} = \frac{1}{36} \implies 6^{x-5} = 6^{-2} \implies x-5 = -2 \implies x = 3$.

Ответ: $3; 4$.

5) $\frac{5}{3^{x+2} - 2} - \frac{4}{3^{x+2} - 1} = 3$

Введем замену $y = 3^{x+2}$. Область допустимых значений: $y \neq 2$ и $y \neq 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{y - 2} - \frac{4}{y - 1} = 3$

Приведем к общему знаменателю $(y - 2)(y - 1)$:

$5(y - 1) - 4(y - 2) = 3(y - 2)(y - 1)$

$5y - 5 - 4y + 8 = 3(y^2 - 3y + 2)$

$y + 3 = 3y^2 - 9y + 6$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 2$, $y \neq 1$). Также, так как $y = 3^{x+2}$, то $y>0$, что выполняется для обоих корней.

Вернемся к замене:

1) $3^{x+2} = y_1 \implies 3^{x+2} = 3 \implies 3^{x+2} = 3^1 \implies x+2 = 1 \implies x = -1$.

2) $3^{x+2} = y_2 \implies 3^{x+2} = \frac{1}{3} \implies 3^{x+2} = 3^{-1} \implies x+2 = -1 \implies x = -3$.

Ответ: $-3; -1$.

6) $2^x + 2^{2-x} = 5$

Используя свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$, перепишем уравнение:

$2^x + \frac{2^2}{2^x} = 5 \implies 2^x + \frac{4}{2^x} = 5$

Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$.

$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 + 4 = 5y$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны.

Вернемся к замене:

1) $2^x = y_1 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = y_2 \implies 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Ответ: $0; 2$.

7) $4^{\cos(2x)} + 4^{\cos^2 x} = 3$

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

Уравнение примет вид:

$4^{2\cos^2 x - 1} + 4^{\cos^2 x} = 3$

$\frac{4^{2\cos^2 x}}{4^1} + 4^{\cos^2 x} = 3$

$\frac{(4^{\cos^2 x})^2}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$

Сделаем замену $y = 4^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $4^0 \le y \le 4^1$, то есть $1 \le y \le 4$.

$\frac{y^2}{4} + y = 3$

Умножим на 4:

$y^2 + 4y = 12 \implies y^2 + 4y - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$. Корень $y_1 = 2$ подходит.

Вернемся к замене:

$4^{\cos^2 x} = 2$

$(2^2)^{\cos^2 x} = 2^1$

$2^{2\cos^2 x} = 2^1$

$2\cos^2 x = 1$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует углам, для которых косинус по модулю равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Такие углы можно записать одной серией:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^x + \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^x = 6$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат.

Заметим, что $3+2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = (\sqrt{2}+1)^2$.

Аналогично, $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

И $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.

Уравнение принимает вид:

$(\sqrt{2}+1)^x + (\sqrt{2}-1)^x = 6$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$, откуда $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.

Сделаем замену $y = (\sqrt{2}+1)^x$, где $y > 0$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x = (\sqrt{2}+1)^{-x} = \frac{1}{y}$.

Уравнение становится:

$y + \frac{1}{y} = 6$

Умножим на $y$:

$y^2 + 1 = 6y \implies y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Оба корня положительны. Вернемся к замене:

1) $(\sqrt{2}+1)^x = y_1 = 3 + 2\sqrt{2}$. Мы уже знаем, что $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2 \implies x = 2$.

2) $(\sqrt{2}+1)^x = y_2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Мы знаем, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2} \implies x = -2$.

Ответ: $\pm 2$.