Номер 17, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и их множествами решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $2^x \le 2$

Б) $2^x \ge 2$

В) $(\frac{1}{2})^x < 2$

Г) $(\frac{1}{2})^x > 2$

Множества решений

1) $(-\infty; -1]$

2) $(-\infty; 1]$

3) $[-1; +\infty)$

4) $[1; +\infty)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $2x \le 2$

Это линейное неравенство. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \le \frac{2}{2}$

$x \le 1$

Множеством решений является числовой промежуток $(-\infty; 1]$. Это соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 2

Б) $2x \ge 2$

Это линейное неравенство. Разделим обе части неравенства на 2.

$x \ge \frac{2}{2}$

$x \ge 1$

Множеством решений является числовой промежуток $[1; +\infty)$. Это соответствует варианту ответа 4.

Ответ: 4

В) $(\frac{1}{2})^x \le 2$

Это показательное неравенство. Представим обе части неравенства в виде степени с одинаковым основанием 2. Используем свойства степеней: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $2 = 2^1$.

$(2^{-1})^x \le 2^1$

$2^{-x} \le 2^1$

Так как основание степени $2$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$-x \le 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный.

$x \ge -1$

Множеством решений является числовой промежуток $[-1; +\infty)$. Это соответствует варианту ответа 3.

Ответ: 3

Г) $(\frac{1}{2})^x \ge 2$

Это показательное неравенство. Решим его аналогично предыдущему, приведя обе части к основанию 2.

$2^{-x} \ge 2^1$

Так как основание степени $2$ больше 1, знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x \ge 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный.

$x \le -1$

Множеством решений является числовой промежуток $(-\infty; -1]$. Это соответствует варианту ответа 1.

Ответ: 1

Заполним итоговую таблицу соответствий: