Номер 21, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Решите неравенство:

1) $10x - 4 \cdot 5x - 125 \cdot 2x + 500 \ge 0;$

2) $\frac{0.6x - 0.216}{2-x} \le 0.$

1) $10^x - 4 \cdot 5^x - 125 \cdot 2^x + 500 \ge 0$

Представим $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство примет вид:

$2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 5^x - 125 \cdot 2^x + 500 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 5^x) - (125 \cdot 2^x - 500) \ge 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$5^x(2^x - 4) - 125(2^x - 4) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2^x - 4)$ за скобки:

$(5^x - 125)(2^x - 4) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). Рассмотрим две системы неравенств.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

$\begin{cases} 5^x - 125 \ge 0 \\ 2^x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \ge 125 \\ 2^x \ge 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \ge 5^3 \\ 2^x \ge 2^2 \end{cases}$

Так как основания степеней $5 > 1$ и $2 > 1$, показательные функции являются возрастающими. Поэтому можно перейти к неравенствам для показателей:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

$\begin{cases} 5^x - 125 \le 0 \\ 2^x - 4 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \le 125 \\ 2^x \le 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \le 5^3 \\ 2^x \le 2^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3 \\ x \le 2 \end{cases} \implies x \le 2$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2) $\frac{0.6^x - 0.216}{2-x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Преобразуем числитель. Заметим, что $0.216 = (\frac{6}{10})^3 = 0.6^3$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{0.6^x - 0.6^3}{2-x} \le 0$

Воспользуемся обобщенным методом интервалов (методом рационализации). Согласно ему, выражение вида $a^f - a^g$ на области определения имеет тот же знак, что и выражение $(a-1)(f-g)$.

В нашем случае $a=0.6$, $f=x$, $g=3$. Знак множителя $(0.6^x - 0.6^3)$ совпадает со знаком произведения $(0.6-1)(x-3)$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$\frac{(0.6-1)(x-3)}{2-x} \le 0$

Поскольку множитель $(0.6-1) = -0.4$ является отрицательным числом, мы можем разделить обе части неравенства на него, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x-3}{2-x} \ge 0$

Чтобы избавиться от минуса при $x$ в знаменателе, умножим дробь на $\frac{-1}{-1}$ (что не меняет ее значения), либо умножим все неравенство на -1 и снова поменяем знак:

$\frac{x-3}{-(x-2)} \ge 0 \implies \frac{x-3}{x-2} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Нули числителя: $x-3=0 \implies x=3$.

Нули знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=3$ будет "закрашенной", так как неравенство нестрогое, а точка $x=2$ — "выколотой", так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x-2}$ на интервалах $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, \infty)$.

При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4-2} = \frac{1}{2} > 0$.

При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{2.5-3}{2.5-2} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$.

При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0-2} = \frac{3}{2} > 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу $(2, 3]$ (включая точку $x=3$).

Ответ: $x \in (2, 3]$.