Номер 25, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите уравнение:

1) $\log_7 x = 2;$

2) $\log_{\sqrt[4]{5}} x = 8;$

3) $\log_{\frac{1}{6}} x = -1;$

4) $\log_x 128 = 7;$

5) $\log_{x+3} 256 = 4;$

6) $\log_x 32 = \frac{5}{3}.$

1) $\log_7 x = 2$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно показательному уравнению:

$x = 7^2$

Вычисляем значение $x$:

$x = 49$

Область допустимых значений для логарифма требует, чтобы аргумент был положителен ($x > 0$). В нашем случае $49 > 0$, поэтому решение верно.

Ответ: $49$.

2) $\log_{\sqrt[4]{5}} x = 8$

Согласно определению логарифма, переходим к показательному уравнению:

$x = (\sqrt[4]{5})^8$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и подставим в уравнение:

$x = (5^{1/4})^8$

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 8} = 5^2$

$x = 25$

Проверка ОДЗ: $x > 0$. $25 > 0$, следовательно, решение корректно.

Ответ: $25$.

3) $\log_{\frac{1}{6}} x = -1$

Используя определение логарифма, получаем:

$x = (\frac{1}{6})^{-1}$

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x = \frac{1}{1/6} = 6$

Проверка ОДЗ: $x > 0$. $6 > 0$, решение верно.

Ответ: $6$.

4) $\log_x 128 = 7$

Переходим к показательному уравнению по определению логарифма:

$x^7 = 128$

Заметим, что $128$ является степенью числа $2$: $128 = 2^7$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x^7 = 2^7$

Отсюда следует, что $x = 2$.

ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Наше решение $x=2$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $2$.

5) $\log_{x+3} 256 = 4$

По определению логарифма:

$(x+3)^4 = 256$

Представим $256$ как степень с показателем 4. Мы знаем, что $256 = 4^4$.

$(x+3)^4 = 4^4$

Так как показатель степени четный, то основание может быть как положительным, так и отрицательным:

$x+3 = 4$ или $x+3 = -4$

Решаем каждое уравнение:

1) $x+3 = 4 \implies x = 1$

2) $x+3 = -4 \implies x = -7$

Проверим найденные корни по ОДЗ для основания логарифма. Основание $x+3$ должно быть больше нуля и не равно единице:

$x+3 > 0 \implies x > -3$

$x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Корень $x=1$ удовлетворяет условиям ($1 > -3$ и $1 \neq -2$).

Корень $x=-7$ не удовлетворяет условию $x > -3$, поэтому является посторонним.

Ответ: $1$.

6) $\log_x 32 = \frac{5}{3}$

Перепишем уравнение в показательной форме:

$x^{\frac{5}{3}} = 32$

Заметим, что $32 = 2^5$.

$x^{\frac{5}{3}} = 2^5$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную показателю при $x$, то есть в степень $\frac{3}{5}$:

$(x^{\frac{5}{3}})^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}}$

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}}$

$x^1 = 2^3$

$x = 8$

Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Решение $x=8$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $8$.