Номер 30, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Постройте график функции:

1) $y = 8^{\log_8(x+4)};$

2) $y = \log_{x-3}(x-3);$

3) $y = \log_2 \log_{6-x} (6-x)^{16};$

4) $y = \log_5 x \cdot \log_x \frac{1}{125}.$

1) Дана функция $y = 8^{\log_8(x+4)}$.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x+4 > 0$
$x > -4$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-4; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (при $a>0, a\neq1, b>0$), получаем:
$y = x+4$
Графиком функции является часть прямой $y = x+4$. Учитывая ОДЗ, это луч, который начинается в точке с абсциссой $x = -4$. Поскольку неравенство в ОДЗ строгое, точка, соответствующая $x=-4$, то есть $(-4, 0)$, не принадлежит графику (является "выколотой").
Ответ: Графиком функции является луч, заданный уравнением $y=x+4$, с выколотой начальной точкой $(-4, 0)$.

2) Дана функция $y = \log_{x-3}(x-3)$.
Найдем область определения функции. Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться три условия: аргумент $a > 0$, основание $b > 0$ и основание $b \neq 1$.
В данном случае основание и аргумент совпадают, поэтому условия следующие:
1) $x-3 > 0 \implies x > 3$
2) $x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя свойство логарифма $\log_a a = 1$ (при $a>0, a \neq 1$).
$y = 1$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=1$. Учитывая ОДЗ, это луч с началом в точке $(3,1)$, из которого выколота сама начальная точка и точка $(4,1)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=1$ при $x>3$ с выколотыми точками $(3,1)$ и $(4,1)$.

3) Дана функция $y = \log_2 \log_{6-x} (6-x)^{16}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ), рассмотрев оба логарифма.
1. Для внутреннего логарифма $\log_{6-x}(\dots)$: основание должно быть положительным и не равным единице.
$6-x > 0 \implies x < 6$
$6-x \neq 1 \implies x \neq 5$
Аргумент этого логарифма $(6-x)^{16}$ должен быть положителен. Так как показатель степени четный, это выполняется всегда, кроме случая, когда $6-x=0$, т.е. $x=6$. Это условие уже учтено в $x<6$.
2. Для внешнего логарифма $\log_2(\dots)$: его аргумент, то есть $\log_{6-x} (6-x)^{16}$, должен быть положительным. Упростим его:
$\log_{6-x} (6-x)^{16} = 16 \cdot \log_{6-x} (6-x) = 16 \cdot 1 = 16$.
Поскольку $16 > 0$, это условие выполняется для всех $x$ из области определения внутреннего логарифма.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; 6)$.
Теперь упростим исходную функцию:
$y = \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$.
$y = 4$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=4$. Учитывая ОДЗ, это луч, идущий из минус бесконечности и заканчивающийся в точке $(6,4)$, из которого выколота сама конечная точка и точка $(5,4)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=4$ при $x<6$ с выколотыми точками $(5,4)$ и $(6,4)$.

4) Дана функция $y = \log_5 x \cdot \log_x \frac{1}{125}$.
Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_5 x$ аргумент должен быть положительным: $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{125}$ основание должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 5:
$\log_x \frac{1}{125} = \frac{\log_5 (1/125)}{\log_5 x}$
Подставим это в исходное выражение:
$y = \log_5 x \cdot \frac{\log_5 (1/125)}{\log_5 x}$
На ОДЗ ($x \neq 1$), знаменатель $\log_5 x \neq 0$, поэтому на него можно сократить:
$y = \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) = -3$.
$y = -3$
Графиком функции является часть горизонтальной прямой $y=-3$. Учитывая ОДЗ, это луч, начинающийся от оси OY (при $x=0$) и идущий вправо, с выколотой начальной точкой $(0,-3)$ и выколотой точкой $(1,-3)$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=-3$ при $x>0$ с выколотыми точками $(0, -3)$ и $(1, -3)$.