Номер 28, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Вычислите значение выражения

$7^{\frac{2}{\log_{\sqrt{2}}7} + \frac{1}{3}\log_7 8} - 3\log_9 \sqrt{9\sqrt[3]{9}}$

Для вычисления значения выражения разобьем его на две части и решим каждую по отдельности.

1. Вычислим значение выражения $7^{\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} + \frac{1}{3}\log_{7} 8}$

Сначала упростим показатель степени $\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} + \frac{1}{3}\log_{7} 8$.

Преобразуем первое слагаемое в показателе, используя формулу перехода к другому основанию логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{2}{\log_{\sqrt{2}} 7} = 2 \cdot \log_7 \sqrt{2}$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_b a = \log_b a^n$:

$2 \cdot \log_7 \sqrt{2} = \log_7 ((\sqrt{2})^2) = \log_7 2$.

Теперь преобразуем второе слагаемое в показателе, используя то же свойство:

$\frac{1}{3}\log_{7} 8 = \log_7 8^{\frac{1}{3}} = \log_7 \sqrt[3]{8} = \log_7 2$.

Сложим полученные значения, чтобы найти весь показатель степени:

$\log_7 2 + \log_7 2 = 2\log_7 2$.

Подставим упрощенный показатель обратно в выражение:

$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$7^{\log_7 4} = 4$.

2. Вычислим значение выражения $3\log_{9}\sqrt{9\sqrt[3]{9}}$

Упростим выражение под знаком логарифма, представив его как степень с основанием 9:

$\sqrt{9\sqrt[3]{9}} = \sqrt{9^1 \cdot 9^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{9^{1+\frac{1}{3}}} = \sqrt{9^{\frac{4}{3}}} = (9^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 9^{\frac{4}{6}} = 9^{\frac{2}{3}}$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в логарифм:

$3\log_{9}(9^{\frac{2}{3}})$.

Используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$, получаем:

$3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

3. Найдем итоговое значение

Теперь вычтем значение второй части из значения первой:

$4 - 2 = 2$.

Ответ: 2