Номер 31, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Сравните:

1) $\log_5 11$ и $\log_5 9$;

2) $\log_{0.7} 3$ и $\log_{0.7} 2$;

3) $\log_4 60$ и $3$;

4) $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $ - \frac{1}{3} $.

Для сравнения значений логарифмов используется свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Сравним $\log_5 11$ и $\log_5 9$.
Основание логарифмов $a=5$, что больше 1 ($5 > 1$), следовательно, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Сравним аргументы логарифмов: $11 > 9$. Так как функция возрастающая, то большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Таким образом, $\log_5 11 > \log_5 9$.
Ответ: $\log_5 11 > \log_5 9$.

Сравним $\log_{0,7} 3$ и $\log_{0,7} 2$.
Основание логарифмов $a=0,7$, что находится в интервале $0 < a < 1$ ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей. Сравним аргументы логарифмов: $3 > 2$. Так как функция убывающая, то большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.
Ответ: $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.

Сравним $\log_4 60$ и $3$.
Для сравнения представим число $3$ в виде логарифма с основанием 4. По определению логарифма, $b = \log_a (a^b)$.
$3 = \log_4 (4^3)$.
Вычислим $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Таким образом, $3 = \log_4 64$.
Теперь сравним $\log_4 60$ и $\log_4 64$. Основание $a=4 > 1$, функция возрастающая. Так как $60 < 64$, то $\log_4 60 < \log_4 64$.
Следовательно, $\log_4 60 < 3$.
Ответ: $\log_4 60 < 3$.

Сравним $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $-\frac{1}{3}$.
Представим число $-\frac{1}{3}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{27}$.
$-\frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{27}} \left(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\right)$.
Вычислим значение выражения под знаком логарифма:
$\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{1}{3})} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.
Таким образом, $-\frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{27}} 3$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $\log_{\frac{1}{27}} 3$. Основание $a=\frac{1}{27}$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей. Так как $5 > 3$, то $\log_{\frac{1}{27}} 5 < \log_{\frac{1}{27}} 3$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{27}} 5 < -\frac{1}{3}$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{27}} 5 < -\frac{1}{3}$.