Страница 40 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Сравните:

1) $\log_5 11$ и $\log_5 9$;

2) $\log_{0.7} 3$ и $\log_{0.7} 2$;

3) $\log_4 60$ и $3$;

4) $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $ - \frac{1}{3} $.

Для сравнения значений логарифмов используется свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Сравним $\log_5 11$ и $\log_5 9$.
Основание логарифмов $a=5$, что больше 1 ($5 > 1$), следовательно, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Сравним аргументы логарифмов: $11 > 9$. Так как функция возрастающая, то большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Таким образом, $\log_5 11 > \log_5 9$.
Ответ: $\log_5 11 > \log_5 9$.

Сравним $\log_{0,7} 3$ и $\log_{0,7} 2$.
Основание логарифмов $a=0,7$, что находится в интервале $0 < a < 1$ ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей. Сравним аргументы логарифмов: $3 > 2$. Так как функция убывающая, то большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.
Ответ: $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.

Сравним $\log_4 60$ и $3$.
Для сравнения представим число $3$ в виде логарифма с основанием 4. По определению логарифма, $b = \log_a (a^b)$.
$3 = \log_4 (4^3)$.
Вычислим $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Таким образом, $3 = \log_4 64$.
Теперь сравним $\log_4 60$ и $\log_4 64$. Основание $a=4 > 1$, функция возрастающая. Так как $60 < 64$, то $\log_4 60 < \log_4 64$.
Следовательно, $\log_4 60 < 3$.
Ответ: $\log_4 60 < 3$.

Сравним $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $-\frac{1}{3}$.
Представим число $-\frac{1}{3}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{27}$.
$-\frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{27}} \left(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\right)$.
Вычислим значение выражения под знаком логарифма:
$\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{1}{3})} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.
Таким образом, $-\frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{27}} 3$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{27}} 5$ и $\log_{\frac{1}{27}} 3$. Основание $a=\frac{1}{27}$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей. Так как $5 > 3$, то $\log_{\frac{1}{27}} 5 < \log_{\frac{1}{27}} 3$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{27}} 5 < -\frac{1}{3}$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{27}} 5 < -\frac{1}{3}$.

32. Сравните числа m и n, если:

1) $\log_{3,8} m \le \log_{3,8} n;$

2) $\log_{0,1} m > \log_{0,1} n.$

Для сравнения чисел $m$ и $n$ необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ в зависимости от ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\log_a x_1 < \log_a x_2$. При решении неравенств знак сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\log_a x_1 > \log_a x_2$. При решении неравенств знак меняется на противоположный.

Также следует помнить, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $m > 0$ и $n > 0$.

Дано неравенство $\log_{3,8} m \le \log_{3,8} n$.

Основание логарифма $a = 3,8$. Так как $3,8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов знак неравенства сохраняется.

Из $\log_{3,8} m \le \log_{3,8} n$ следует, что $m \le n$.

С учетом области определения ($m>0, n>0$), получаем $0 < m \le n$.

Ответ: $m \le n$.

Дано неравенство $\log_{0,1} m > \log_{0,1} n$.

Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Из $\log_{0,1} m > \log_{0,1} n$ следует, что $m < n$.

С учетом области определения ($m>0, n>0$), получаем $0 < m < n$.

Ответ: $m < n$.

33. Сравните с нулём:

1) $ \log_8 10; $

2) $ \log_{0.6} 0.4; $

3) $ \log_2 \frac{4}{9}; $

4) $ \log_{\frac{1}{3}} 11. $

Для сравнения значения логарифма $\log_a b$ с нулём, можно использовать следующее правило, основанное на свойствах логарифмической функции:

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y=\log_a x$ возрастает. Это означает, что:
  • если аргумент $b > 1$, то $\log_a b > \log_a 1$, то есть $\log_a b > 0$.
  • если $0 < b < 1$, то $\log_a b < \log_a 1$, то есть $\log_a b < 0$.
• Если $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y=\log_a x$ убывает. Это означает, что:
  • если аргумент $b > 1$, то $\log_a b < \log_a 1$, то есть $\log_a b < 0$.
  • если $0 < b < 1$, то $\log_a b > \log_a 1$, то есть $\log_a b > 0$.

Проще говоря, знак логарифма положителен, если основание и число под логарифмом лежат по одну сторону от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1). Знак отрицателен, если они лежат по разные стороны от единицы.

Основание логарифма $a = 8$. Так как $8 > 1$, функция $y = \log_8 x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = 10$. Так как $10 > 1$, то значение логарифма будет больше нуля. Сравним с нулём, представив его как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_8 1$. Поскольку функция возрастающая и $10 > 1$, то $\log_8 10 > \log_8 1$. Следовательно, $\log_8 10 > 0$.
Ответ: $\log_8 10 > 0$.

Основание логарифма $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция $y = \log_{0,6} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 0,4$. Так как $0 < 0,4 < 1$, то основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы, значит логарифм положителен. Сравним с нулём: $0 = \log_{0,6} 1$. Поскольку функция убывающая и $0,4 < 1$, то $\log_{0,6} 0,4 > \log_{0,6} 1$. Следовательно, $\log_{0,6} 0,4 > 0$.
Ответ: $\log_{0,6} 0,4 > 0$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = \frac{4}{9}$. Так как $0 < \frac{4}{9} < 1$, то основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значит логарифм отрицателен. Сравним с нулём: $0 = \log_2 1$. Поскольку функция возрастающая и $\frac{4}{9} < 1$, то $\log_2 \frac{4}{9} < \log_2 1$. Следовательно, $\log_2 \frac{4}{9} < 0$.
Ответ: $\log_2 \frac{4}{9} < 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 11$. Так как $11 > 1$, то основание и аргумент находятся по разные стороны от единицы, значит логарифм отрицателен. Сравним с нулём: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$. Поскольку функция убывающая и $11 > 1$, то $\log_{\frac{1}{3}} 11 < \log_{\frac{1}{3}} 1$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 11 < 0$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 11 < 0$.

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 8,4 > \log_a 7,4;$

2) $\log_a 2,3 > \log_a 3,4.$

Для того чтобы сравнить основание логарифма $a$ с единицей, необходимо проанализировать поведение логарифмической функции $y = \log_a x$. Свойства этой функции зависят от значения её основания $a$ (при этом по определению $a > 0$ и $a \neq 1$).

• Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_a x_2 > \log_a x_1$. Знак неравенства при переходе от аргументов к логарифмам сохраняется.
• Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_a x_2 < \log_a x_1$. Знак неравенства при переходе от аргументов к логарифмам меняется на противоположный.

Рассмотрим каждый случай.

1) $\log_a 8,4 > \log_a 7,4$

Сравним числа, стоящие под знаком логарифма (аргументы): $8,4$ и $7,4$.

Очевидно, что $8,4 > 7,4$.

Мы видим, что большему аргументу ($8,4$) соответствует большее значение логарифма ($\log_a 8,4$). Знак неравенства для аргументов ($>$) совпадает со знаком неравенства для логарифмов ($>$).

Это соответствует свойству возрастающей логарифмической функции, что выполняется при основании, большем единицы.

Ответ: $a > 1$.

2) $\log_a 2,3 > \log_a 3,4$

Сравним аргументы логарифмов: $2,3$ и $3,4$.

Очевидно, что $2,3 < 3,4$.

Мы видим, что большему аргументу ($3,4$) соответствует меньшее значение логарифма ($\log_a 3,4$). Знак неравенства для аргументов ($<$) противоположен знаку неравенства для логарифмов ($>$).

Это соответствует свойству убывающей логарифмической функции, что выполняется при основании, которое больше нуля, но меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.

35. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{6}} x$ равно $-1$, а наименьшее равно $-3$?

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{6}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Монотонное убывание функции означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению $x$ соответствует большее значение $y$.

По условию, на искомом промежутке $[x_1; x_2]$ наибольшее значение функции $y_{max} = -1$, а наименьшее значение $y_{min} = -3$.

В силу убывания функции, ее наибольшее значение достигается в левой границе промежутка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее значение — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Таким образом, мы можем составить и решить два уравнения:

1. Найдем значение $x_1$, при котором функция достигает своего наибольшего значения:

$\log_{\frac{1}{6}} x_1 = -1$

По определению логарифма:

$x_1 = (\frac{1}{6})^{-1} = 6$

2. Найдем значение $x_2$, при котором функция достигает своего наименьшего значения:

$\log_{\frac{1}{6}} x_2 = -3$

По определению логарифма:

$x_2 = (\frac{1}{6})^{-3} = (6^{-1})^{-3} = 6^3 = 216$

Следовательно, искомый промежуток, на котором функция принимает значения от $-3$ до $-1$ включительно, это отрезок $[6; 216]$.

Ответ: $[6; 216]$

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_6(x + 3)$

Б) $y = \log_x(x + 3)$

В) $y = \log_{x+3} x$

Г) $y = \log_{x+3} 6$

Области определения

1) $(-3; +\infty)$

2) $(-3; -2) \cup (-2; +\infty)$

3) $(0; +\infty)$

4) $(0; 1) \cup (1; +\infty)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции $y = \log_a b$ необходимо, чтобы выполнялись три условия одновременно:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $b > 0$.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: $a > 0$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

Применим эти правила для каждой из предложенных функций.

В этой функции основание $a=6$ является константой. Проверяем условия для основания: $6 > 0$ и $6 \neq 1$. Оба условия выполнены.

Теперь рассмотрим аргумент $b = x+3$. Он должен быть строго больше нуля:

$x+3 > 0$

$x > -3$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $-3$. В виде интервала это записывается как $(-3; +\infty)$. Данный интервал соответствует варианту 1).

Ответ: 1

В этой функции и основание, и аргумент зависят от $x$. Составим систему из трёх условий:

1. Аргумент: $x+3 > 0 \implies x > -3$

2. Основание: $x > 0$

3. Основание: $x \neq 1$

Найдём пересечение этих условий. Из $x > -3$ и $x > 0$ следует более сильное условие $x > 0$. Добавив к нему третье условие, получаем $x > 0$ и $x \neq 1$.

В виде объединения интервалов это записывается как $(0; 1) \cup (1; +\infty)$. Это соответствует варианту 4).

Ответ: 4

Снова составим систему из трёх условий:

1. Аргумент: $x > 0$

2. Основание: $x+3 > 0 \implies x > -3$

3. Основание: $x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Найдём пересечение этих условий. Условие $x > 0$ является самым строгим из $x>0$ и $x>-3$. Если $x>0$, то условие $x \neq -2$ выполняется автоматически. Следовательно, итоговая область определения — это $x > 0$.

В виде интервала это записывается как $(0; +\infty)$. Это соответствует варианту 3).

Ответ: 3

В этой функции аргумент $b=6$ является константой. Условие $6 > 0$ выполнено.

Остаётся рассмотреть условия для основания $a = x+3$:

1. Основание: $x+3 > 0 \implies x > -3$

2. Основание: $x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Объединив эти два условия, получаем, что $x$ может быть любым числом, большим $-3$, за исключением $-2$.

В виде объединения интервалов это записывается как $(-3; -2) \cup (-2; +\infty)$. Это соответствует варианту 2).

Ответ: 2

Заполним итоговую таблицу: