Страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{8x}$;

2) $y = e^{x^4}$;

3) $y = e^{x^2 - 3x}$;

4) $y = 8^{-x}$;

5) $y = 9^{3x+7}$;

6) $y = 0.2^{\operatorname{ctg} x}$;

7) $y = 5 \cdot 4^{0.6x^2 - 8}$;

8) $y = e^x (x^2 - 5x + 6)$;

9) $y = 3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$;

10) $y = 6x^2 (2 - x)$;

11) $y = \frac{7x + 2}{7x - 3}$;

12) $y = e^{\frac{\operatorname{tg} x}{3}}$.

1) Для функции $y = e^{8x}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В данном случае, $u(x) = 8x$, и ее производная $u'(x) = 8$.
Тогда производная исходной функции будет:
$y' = (e^{8x})' = e^{8x} \cdot (8x)' = e^{8x} \cdot 8 = 8e^{8x}$.
Ответ: $y' = 8e^{8x}$.

2) Для функции $y = e^{x^4}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = x^4$, и ее производная $u'(x) = 4x^3$.
Следовательно, производная функции:
$y' = (e^{x^4})' = e^{x^4} \cdot (x^4)' = e^{x^4} \cdot 4x^3 = 4x^3e^{x^4}$.
Ответ: $y' = 4x^3e^{x^4}$.

3) Для функции $y = e^{x^2-3x}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = x^2-3x$, и ее производная $u'(x) = 2x-3$.
Тогда производная функции:
$y' = (e^{x^2-3x})' = e^{x^2-3x} \cdot (x^2-3x)' = e^{x^2-3x} \cdot (2x-3) = (2x-3)e^{x^2-3x}$.
Ответ: $y' = (2x-3)e^{x^2-3x}$.

4) Для функции $y = 8^{-x}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
В этом случае, $a = 8$, $u(x) = -x$, и $u'(x) = -1$.
Производная будет:
$y' = (8^{-x})' = 8^{-x} \ln(8) \cdot (-x)' = 8^{-x} \ln(8) \cdot (-1) = -8^{-x}\ln(8)$.
Ответ: $y' = -8^{-x}\ln(8)$.

5) Для функции $y = 9^{3x+7}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 9$, $u(x) = 3x+7$, и $u'(x) = 3$.
Находим производную:
$y' = (9^{3x+7})' = 9^{3x+7} \ln(9) \cdot (3x+7)' = 9^{3x+7} \ln(9) \cdot 3 = 3 \cdot 9^{3x+7}\ln(9)$.
Ответ: $y' = 3 \cdot 9^{3x+7}\ln(9)$.

6) Для функции $y = 0.2^{\ctg x}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 0.2$, $u(x) = \ctg x$, и $u'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Находим производную:
$y' = (0.2^{\ctg x})' = 0.2^{\ctg x} \ln(0.2) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{0.2^{\ctg x} \ln(0.2)}{\sin^2 x}$.
Учитывая, что $\ln(0.2) = \ln(1/5) = -\ln(5)$, можно переписать ответ: $y' = \frac{0.2^{\ctg x} \ln(5)}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{0.2^{\ctg x} \ln(0.2)}{\sin^2 x}$.

7) Для функции $y = 5 \cdot 4^{0.6x^2-8}$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для показательной функции $(c \cdot a^{u(x)})' = c \cdot a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $c=5$, $a=4$, $u(x) = 0.6x^2-8$, и $u'(x) = 0.6 \cdot 2x = 1.2x$.
Находим производную:
$y' = 5 \cdot (4^{0.6x^2-8})' = 5 \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4) \cdot (1.2x) = (5 \cdot 1.2x) \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4) = 6x \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4)$.
Ответ: $y' = 6x \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4)$.

8) Для функции $y = e^x(x^2 - 5x + 6)$ используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^2 - 5x + 6$.
Тогда $u'(x) = e^x$ и $v'(x) = 2x - 5$.
Подставляем в формулу:
$y' = (e^x)'(x^2 - 5x + 6) + e^x(x^2 - 5x + 6)' = e^x(x^2 - 5x + 6) + e^x(2x - 5)$.
Выносим $e^x$ за скобки и упрощаем:
$y' = e^x(x^2 - 5x + 6 + 2x - 5) = e^x(x^2 - 3x + 1)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 - 3x + 1)$.

9) Сначала упростим функцию $y = 3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Так как $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$ (для $x \ge 0$), функция принимает вид $y = 3x$.
Теперь находим производную от линейной функции:
$y' = (3x)' = 3$.
Ответ: $y' = 3$.

10) Для функции $y = 6x^2(2-x)$ сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение.
$y = 6x^2 \cdot 2 - 6x^2 \cdot x = 12x^2 - 6x^3$.
Теперь дифференцируем полученный многочлен, используя правило для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:
$y' = (12x^2)' - (6x^3)' = 12 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 3x^{3-1} = 24x - 18x^2$.
Ответ: $y' = 24x - 18x^2$.

11) Для функции $y = \frac{7x+2}{7x-3}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 7x+2$ и $v(x) = 7x-3$.
Тогда их производные $u'(x) = 7$ и $v'(x) = 7$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(7x+2)'(7x-3) - (7x+2)(7x-3)'}{(7x-3)^2} = \frac{7(7x-3) - (7x+2)7}{(7x-3)^2}$.
Раскрываем скобки в числителе:
$y' = \frac{49x - 21 - (49x + 14)}{(7x-3)^2} = \frac{49x - 21 - 49x - 14}{(7x-3)^2} = \frac{-35}{(7x-3)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{35}{(7x-3)^2}$.

12) Для функции $y = e^{\tg(x/3)}$ применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) последовательно.
Сначала для внешней функции $e^u$: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Здесь $u = \tg(x/3)$.
$y' = e^{\tg(x/3)} \cdot (\tg(x/3))'$.
Теперь найдем производную от $\tg(x/3)$. Это тоже сложная функция. $(\tg v)' = \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v'$. Здесь $v = \frac{x}{3}$.
$(\tg(x/3))' = \frac{1}{\cos^2(x/3)} \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{\cos^2(x/3)} \cdot \frac{1}{3}$.
Объединяем все вместе:
$y' = e^{\tg(x/3)} \cdot \frac{1}{3\cos^2(x/3)} = \frac{e^{\tg(x/3)}}{3\cos^2(x/3)}$.
Ответ: $y' = \frac{e^{\tg(x/3)}}{3\cos^2(x/3)}$.

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{4x} + e^{-2x^2}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 5^{2x^2-3x+1}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = e^{2x} (x^2 - 3)$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{e^{2x}}{\cos 3x}$, $x_0 = \pi$.

1) Дана функция $f(x) = e^{4x} + e^{-2x^2}$ и точка $x_0 = 0$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и цепное правило для сложных функций $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Производная первого слагаемого: $(e^{4x})' = e^{4x} \cdot (4x)' = 4e^{4x}$.
Производная второго слагаемого: $(e^{-2x^2})' = e^{-2x^2} \cdot (-2x^2)' = e^{-2x^2} \cdot (-4x) = -4xe^{-2x^2}$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 4e^{4x} - 4xe^{-2x^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 \cdot e^{-2 \cdot 0^2} = 4e^0 - 0 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 - 0 = 4$.
Ответ: $4$.

2) Дана функция $f(x) = 5^{2x^2-3x+1}$ и точка $x_0 = 1$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$, где $a=5$ и $u = 2x^2-3x+1$.
$u' = (2x^2-3x+1)' = 4x-3$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 5^{2x^2-3x+1} \cdot \ln 5 \cdot (4x-3)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 5^{2(1)^2-3(1)+1} \cdot \ln 5 \cdot (4(1)-3) = 5^{2-3+1} \cdot \ln 5 \cdot (4-3) = 5^0 \cdot \ln 5 \cdot 1 = 1 \cdot \ln 5 = \ln 5$.
Ответ: $\ln 5$.

3) Дана функция $f(x) = e^{2x}(x^2 - 3)$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = x^2-3$.
$u'(x) = (e^{2x})' = 2e^{2x}$.
$v'(x) = (x^2-3)' = 2x$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (e^{2x})'(x^2-3) + e^{2x}(x^2-3)' = 2e^{2x}(x^2-3) + e^{2x}(2x)$.
Упростим выражение, вынеся $e^{2x}$ за скобки:
$f'(x) = e^{2x}(2(x^2-3) + 2x) = e^{2x}(2x^2 - 6 + 2x) = e^{2x}(2x^2 + 2x - 6)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = e^{2 \cdot 2}(2(2)^2 + 2(2) - 6) = e^4(2 \cdot 4 + 4 - 6) = e^4(8 + 4 - 6) = e^4 \cdot 6 = 6e^4$.
Ответ: $6e^4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{e^{2x}}{\cos(3x)}$ и точка $x_0 = \pi$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = \cos(3x)$.
$u'(x) = (e^{2x})' = 2e^{2x}$.
$v'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{(e^{2x})'\cos(3x) - e^{2x}(\cos(3x))'}{(\cos(3x))^2} = \frac{2e^{2x}\cos(3x) - e^{2x}(-3\sin(3x))}{\cos^2(3x)} = \frac{2e^{2x}\cos(3x) + 3e^{2x}\sin(3x)}{\cos^2(3x)}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$. Для этого найдем значения $\cos(3\pi)$ и $\sin(3\pi)$:
$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$.
Подставим значения в выражение для производной:
$f'(\pi) = \frac{2e^{2\pi}(-1) + 3e^{2\pi}(0)}{(-1)^2} = \frac{-2e^{2\pi} + 0}{1} = -2e^{2\pi}$.
Ответ: $-2e^{2\pi}$.

56. Решите неравенство $f'(x) \le g'(x)$, если:

1) $f(x) = e^x (x^2 + 4x - 3)$, $g(x) = xe^x$;

2) $f(x) = 4^{5x}$, $g(x) = 5 \cdot 2^{x-1}$.

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_{12} x;$

2) $y = \ln 10x;$

3) $y = \ln(2x^2 + 5);$

4) $y = \log_{0.4}(4x^2 - 2x + 9);$

5) $y = \ln^6 x;$

6) $y = x^7 \ln x;$

7) $y = \frac{\ln x}{x^4};$

8) $y = \frac{x}{\ln^3 x}.$

1) Дана функция $y = \log_{12} x$.
Для нахождения производной логарифмической функции с основанием $a$ используется формула: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
В данном случае основание $a = 12$.
Применяя формулу, получаем: $y' = (\log_{12} x)' = \frac{1}{x \ln 12}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 12}$.

2) Дана функция $y = \ln 10x$.
Воспользуемся свойством логарифма: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
Тогда функцию можно переписать в виде: $y = \ln 10 + \ln x$.
Теперь найдем производную. Производная константы $(\ln 10)'$ равна нулю, а производная $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
$y' = (\ln 10 + \ln x)' = (\ln 10)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Дана функция $y = \ln(2x^2 + 5)$.
Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для натурального логарифма: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
Здесь $u = 2x^2 + 5$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (2x^2 + 5)' = 2 \cdot 2x + 0 = 4x$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{4x}{2x^2 + 5}$.
Ответ: $y' = \frac{4x}{2x^2 + 5}$.

4) Дана функция $y = \log_{0,4}(4x^2 - 2x + 9)$.
Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции для логарифма с основанием $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
Здесь $a = 0,4$ и $u = 4x^2 - 2x + 9$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (4x^2 - 2x + 9)' = 8x - 2$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln 0,4}$.
Ответ: $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln 0,4}$.

5) Дана функция $y = \ln^6 x$.
Эту функцию можно записать как $y = (\ln x)^6$.
Это сложная функция. Используем степенное правило и цепное правило: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = \ln x$ и $n = 6$.
Производная внутренней функции: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = 6(\ln x)^{6-1} \cdot (\ln x)' = 6 \ln^5 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6 \ln^5 x}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{6 \ln^5 x}{x}$.

6) Дана функция $y = x^7 \ln x$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u = x^7$ и $v = \ln x$.
Находим производные: $u' = (x^7)' = 7x^6$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = 7x^6 \cdot \ln x + x^7 \cdot \frac{1}{x} = 7x^6 \ln x + x^6$.
Можно вынести общий множитель $x^6$: $y' = x^6(7 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x^6(7 \ln x + 1)$.

7) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x^4}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = \ln x$ и $v = x^4$.
Находим производные: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v' = (x^4)' = 4x^3$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^4 - \ln x \cdot 4x^3}{(x^4)^2} = \frac{x^3 - 4x^3 \ln x}{x^8}$.
Вынесем $x^3$ в числителе за скобки и сократим дробь: $y' = \frac{x^3(1 - 4 \ln x)}{x^8} = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.

8) Дана функция $y = \frac{x}{\ln^3 x}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x$ и $v = \ln^3 x = (\ln x)^3$.
Находим производные: $u' = (x)' = 1$.
Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = ((\ln x)^3)' = 3(\ln x)^2 \cdot (\ln x)' = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 \ln^2 x}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot \ln^3 x - x \cdot \frac{3 \ln^2 x}{x}}{(\ln^3 x)^2} = \frac{\ln^3 x - 3 \ln^2 x}{\ln^6 x}$.
Вынесем $\ln^2 x$ в числителе за скобки и сократим дробь: $y' = \frac{\ln^2 x(\ln x - 3)}{\ln^6 x} = \frac{\ln x - 3}{\ln^4 x}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 3}{\ln^4 x}$.

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(5x - 4), x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}\ln(-2x), x_0 = -\frac{1}{8};$

3) $f(x) = \ln \sin\frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

1) $f(x) = \ln(5x - 4), x_0 = 3$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$.
В нашем случае, $u = 5x - 4$, тогда $u' = (5x - 4)' = 5$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (\ln(5x - 4))' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot 5 = \frac{5}{5x - 4}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = \frac{5}{5 \cdot 3 - 4} = \frac{5}{15 - 4} = \frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{5}{11}$

2) $f(x) = \frac{1}{4}\ln(-2x), x_0 = -\frac{1}{8}$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы за знак производной.
$f'(x) = \left(\frac{1}{4}\ln(-2x)\right)' = \frac{1}{4} \cdot (\ln(-2x))'$.
Здесь внутренняя функция $u = -2x$, ее производная $u' = -2$.
$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{4(-2x)} = \frac{1}{4x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{8}$:
$f'(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{8})} = \frac{1}{-\frac{4}{8}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

Ответ: $-2$

3) $f(x) = \ln\sin\frac{x}{3}, x_0 = \pi$

Это сложная функция, для нахождения ее производной применим цепное правило дважды.
$f'(x) = \left(\ln\left(\sin\frac{x}{3}\right)\right)' = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} \cdot \left(\sin\frac{x}{3}\right)'$.
Теперь найдем производную от $\sin\frac{x}{3}$:
$\left(\sin\frac{x}{3}\right)' = \cos\frac{x}{3} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \cos\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3}$.
Подставим это в выражение для производной $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} \cdot \cos\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \frac{\cos(x/3)}{\sin(x/3)} = \frac{1}{3}\cot\frac{x}{3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:
$f'(\pi) = \frac{1}{3}\cot\frac{\pi}{3}$.
Так как $\cot\frac{\pi}{3} = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то:
$f'(\pi) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{9}$