Страница 33 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Игральный кубик бросают девять раз. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет:

1) три раза;

2) больше трёх, но меньше шести раз?

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Каждое бросание кубика является независимым испытанием.

Определим параметры для формулы Бернулли:

• Количество испытаний (бросков кубика): $n=9$.
• "Успех" - выпадение шестёрки. Вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{1}{6}$.
• "Неудача" - невыпадение шестёрки. Вероятность неудачи в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие произойдёт ровно $k$ раз, имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

1) три раза

Нам нужно найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=3$ раза. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_9(3) = C_9^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{9-3} = C_9^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Теперь подставим это значение обратно в формулу вероятности:

$P_9(3) = 84 \cdot \frac{1^3}{6^3} \cdot \frac{5^6}{6^6} = 84 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{15625}{46656} = \frac{84 \cdot 5^6}{6^9}$

Выполним вычисления и упростим дробь:

$P_9(3) = \frac{84 \cdot 15625}{10077696} = \frac{1312500}{10077696}$

Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

$6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9$

$P_9(3) = \frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5^6}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{7 \cdot 5^6}{2^7 \cdot 3^8} = \frac{7 \cdot 15625}{128 \cdot 6561} = \frac{109375}{839808}$

Ответ: $P_9(3) = \frac{109375}{839808} \approx 0.13$

2) больше трёх, но меньше шести раз

Это означает, что шестёрка должна выпасть либо 4 раза, либо 5 раз. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_9(4)$ и $P_9(5)$.

$P(3 < k < 6) = P_9(4) + P_9(5)$

Сначала найдём $P_9(4)$:

$P_9(4) = C_9^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{9-4} = C_9^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^5$

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$

$P_9(4) = 126 \cdot \frac{5^5}{6^9} = \frac{126 \cdot 3125}{10077696} = \frac{393750}{10077696}$

Теперь найдём $P_9(5)$:

$P_9(5) = C_9^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{9-5} = C_9^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^4$

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = C_9^4 = 126$

$P_9(5) = 126 \cdot \frac{5^4}{6^9} = \frac{126 \cdot 625}{10077696} = \frac{78750}{10077696}$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(3 < k < 6) = \frac{393750}{10077696} + \frac{78750}{10077696} = \frac{393750 + 78750}{10077696} = \frac{472500}{10077696}$

Упростим полученную дробь. Можно заметить, что числитель и знаменатель делятся на 180:

$P_9(4) = \frac{7 \cdot 5^5}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{21875}{559872}$

$P_9(5) = \frac{7 \cdot 5^4}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{4375}{559872}$

$P(3 < k < 6) = \frac{21875}{559872} + \frac{4375}{559872} = \frac{26250}{559872}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{26250 \div 6}{559872 \div 6} = \frac{4375}{93312}$

Ответ: $P(3 < k < 6) = \frac{4375}{93312} \approx 0.047$

167. Игральный кубик бросают семь раз. Какова вероятность того, что чётное число выпадает:

1) два раза;

2) не более трёх раз;

3) больше пяти раз?

Данная задача решается с помощью схемы Бернулли, так как она описывает серию из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых есть два исхода: "успех" (событие произошло) и "неудача" (событие не произошло).

В нашем случае:
Количество испытаний (бросков кубика) $n = 7$.
"Успех" — это выпадение чётного числа. На стандартном кубике 3 чётных грани (2, 4, 6) из 6. Вероятность "успеха" в одном испытании: $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
"Неудача" — это выпадение нечётного числа. Вероятность "неудачи" в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях "успех" наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний. Для наших параметров формула выглядит так: $P_7(k) = C_7^k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{7-k} = C_7^k (\frac{1}{2})^7 = \frac{C_7^k}{128}$.

1) два раза;
Найдём вероятность того, что чётное число выпадет ровно $k=2$ раза. Для этого вычислим число сочетаний $C_7^2$: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$. Теперь вычислим вероятность: $P_7(2) = \frac{C_7^2}{128} = \frac{21}{128}$.
Ответ: $\frac{21}{128}$

2) не более трёх раз;
Это означает, что чётное число выпадет 0, 1, 2 или 3 раза. Нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k \le 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2) + P_7(3)$.
Вычислим вероятности для каждого случая:
$P_7(0) = \frac{C_7^0}{128} = \frac{1}{128}$
$P_7(1) = \frac{C_7^1}{128} = \frac{7}{128}$
$P_7(2) = \frac{C_7^2}{128} = \frac{21}{128}$ (уже найдено)
$P_7(3) = \frac{C_7^3}{128} = \frac{7!}{3!(7-3)! \cdot 128} = \frac{35}{128}$
Суммируем полученные значения: $P(k \le 3) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} + \frac{21}{128} + \frac{35}{128} = \frac{1+7+21+35}{128} = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) больше пяти раз?
Это означает, что чётное число выпадет 6 или 7 раз. Нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k > 5) = P_7(6) + P_7(7)$.
Вычислим вероятности для каждого случая:
$P_7(6) = \frac{C_7^6}{128} = \frac{7}{128}$
$P_7(7) = \frac{C_7^7}{128} = \frac{1}{128}$
Суммируем полученные значения: $P(k > 5) = \frac{7}{128} + \frac{1}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока четыре партии из пяти или шесть партий из девяти?

Для ответа на вопрос необходимо рассчитать и сравнить вероятности двух событий. Поскольку игроки равноценны, вероятность выигрыша $p$ в каждой отдельной партии равна $0.5$, а вероятность проигрыша $q = 1-p$ также равна $0.5$.

Вероятность выиграть ровно $k$ партий из $n$ можно рассчитать по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

В нашем случае, когда $p=q=0.5$, формула упрощается до $P_n(k) = C_n^k \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

выиграть у равноценного игрока четыре партии из пяти

Рассчитаем вероятность этого события, обозначим ее $P_1$. В данном случае общее число партий (испытаний) $n=5$, а число желаемых побед (успехов) $k=4$. $P_1 = C_5^4 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Ответ: Вероятность этого события равна $\frac{5}{32}$.

шесть партий из девяти

Рассчитаем вероятность этого события, обозначим ее $P_2$. Здесь общее число партий $n=9$, а число желаемых побед $k=6$. $P_2 = C_9^6 \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{9!}{6!(9-6)!} \cdot \frac{1}{512} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{512} = 84 \cdot \frac{1}{512} = \frac{84}{512}$. Сократив дробь на 4, получаем: $P_2 = \frac{21}{128}$.

Ответ: Вероятность этого события равна $\frac{21}{128}$.

Теперь необходимо сравнить полученные вероятности $P_1 = \frac{5}{32}$ и $P_2 = \frac{21}{128}$, чтобы определить, какое из событий более вероятно. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 128: $P_1 = \frac{5}{32} = \frac{5 \cdot 4}{32 \cdot 4} = \frac{20}{128}$. Сравнивая дроби, получаем: $\frac{21}{128} > \frac{20}{128}$, следовательно, $P_2 > P_1$.

Это означает, что выиграть шесть партий из девяти является более вероятным событием, чем выиграть четыре партии из пяти.

Ответ: Более вероятно выиграть шесть партий из девяти.

169. По таблице распределения вероятностей случайной величины x найдите значение переменной a.

1)

2)

1)

Основное свойство таблицы распределения вероятностей случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1 (или 100%, если вероятности выражены в процентах). В данной таблице значения вероятностей представлены в виде десятичных дробей, поэтому их сумма должна быть равна 1.

Составим уравнение, просуммировав все вероятности из таблицы и приравняв их к 1:

$0,12 + 3a + 0,12 + 0,12 + a = 1$

Сгруппируем и сложим известные числовые значения и слагаемые, содержащие переменную $a$:

$(0,12 + 0,12 + 0,12) + (3a + a) = 1$

$0,36 + 4a = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$4a = 1 - 0,36$

$4a = 0,64$

$a = \frac{0,64}{4}$

$a = 0,16$

Ответ: $a = 0,16$

2)

В этой таблице вероятности указаны в процентах (%). Это означает, что сумма всех вероятностей должна быть равна 100%.

Запишем уравнение, исходя из этого свойства:

$27 + 19 + 21 + a + 22 + 4 = 100$

Сложим все известные числовые значения в левой части уравнения:

$(27 + 19) + 21 + a + 22 + 4 = 46 + 21 + a + 22 + 4 = 100$

$67 + a + 22 + 4 = 100$

$89 + a + 4 = 100$

$93 + a = 100$

Теперь найдем значение $a$, вычтя 93 из 100:

$a = 100 - 93$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$

170. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1) $P(x = 4)$;

2) $P(x = 3)$;

3) $P(x \geq 8)$;

4) $P(x < 5)$;

5) $P(4 \leq x < 11)$.

1) P (x = 4);
Для нахождения вероятности того, что случайная величина $x$ примет значение 4, обратимся к таблице. В строке "Вероятность, %" под значением $x = 4$ указана вероятность 23%.
$P(x = 4) = 23\%$.
Ответ: 23%.

2) P (x = 3);
Случайная величина $x$ является дискретной и может принимать только те значения, которые указаны в таблице: 1, 4, 5, 8, 11, 15. Значение $x = 3$ в этом списке отсутствует. Следовательно, вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 3, равна нулю, так как это невозможное событие.
$P(x = 3) = 0$.
Ответ: 0.

3) P (x ≥ 8);
Событие $x \ge 8$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, которое больше или равно 8. Согласно таблице, этому условию удовлетворяют значения $x = 8$, $x = 11$ и $x = 15$. Так как эти события несовместны (случайная величина не может одновременно принимать разные значения), для нахождения искомой вероятности нужно сложить их вероятности.
$P(x \ge 8) = P(x = 8) + P(x = 11) + P(x = 15) = 25\% + 2\% + 13\% = 40\%$.
Ответ: 40%.

4) P (x < 5);
Событие $x < 5$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, которое строго меньше 5. Из таблицы этому условию удовлетворяют значения $x = 1$ и $x = 4$. Суммируем их вероятности:
$P(x < 5) = P(x = 1) + P(x = 4) = 7\% + 23\% = 30\%$.
Ответ: 30%.

5) P (4 ≤ x < 11).
Событие $4 \le x < 11$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, которое больше или равно 4, но строго меньше 11. Этому условию соответствуют значения $x = 4$, $x = 5$ и $x = 8$. Найдем сумму их вероятностей:
$P(4 \le x < 11) = P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 8) = 23\% + 12\% + 25\% = 60\%$.
Ответ: 60%.

171. Имеются две колоды, в каждой из которых лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. В этом испытании изучают случайную величину, равную произведению чисел на выбранных карточках. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Пусть $X$ — случайная величина, равная произведению чисел на двух выбранных карточках. В каждой из двух колод лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3.

Общее число возможных исходов равно произведению количества карточек в каждой колоде: $N = 3 \times 3 = 9$. Поскольку выбор карточек случаен, все исходы являются равновероятными. Вероятность каждого конкретного исхода (пары карточек) составляет $1/9$.

Определим все возможные значения, которые может принимать случайная величина $X$, и найдем их вероятности. Для этого перечислим все возможные пары чисел на карточках и их произведения:
(1, 1) $\rightarrow$ произведение 1
(1, 2) $\rightarrow$ произведение 2
(1, 3) $\rightarrow$ произведение 3
(2, 1) $\rightarrow$ произведение 2
(2, 2) $\rightarrow$ произведение 4
(2, 3) $\rightarrow$ произведение 6
(3, 1) $\rightarrow$ произведение 3
(3, 2) $\rightarrow$ произведение 6
(3, 3) $\rightarrow$ произведение 9

Множество возможных значений для $X$: {1, 2, 3, 4, 6, 9}.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения $X$, подсчитав количество благоприятствующих исходов ($m$):
Для $X=1$: один исход (1, 1), $m=1$. Вероятность $P(X=1) = 1/9$.
Для $X=2$: два исхода (1, 2), (2, 1), $m=2$. Вероятность $P(X=2) = 2/9$.
Для $X=3$: два исхода (1, 3), (3, 1), $m=2$. Вероятность $P(X=3) = 2/9$.
Для $X=4$: один исход (2, 2), $m=1$. Вероятность $P(X=4) = 1/9$.
Для $X=6$: два исхода (2, 3), (3, 2), $m=2$. Вероятность $P(X=6) = 2/9$.
Для $X=9$: один исход (3, 3), $m=1$. Вероятность $P(X=9) = 1/9$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $1/9 + 2/9 + 2/9 + 1/9 + 2/9 + 1/9 = 9/9 = 1$.

На основе полученных данных составим таблицу распределения вероятностей.

Ответ: