Номер 168, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока четыре партии из пяти или шесть партий из девяти?

Для ответа на вопрос необходимо рассчитать и сравнить вероятности двух событий. Поскольку игроки равноценны, вероятность выигрыша $p$ в каждой отдельной партии равна $0.5$, а вероятность проигрыша $q = 1-p$ также равна $0.5$.

Вероятность выиграть ровно $k$ партий из $n$ можно рассчитать по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

В нашем случае, когда $p=q=0.5$, формула упрощается до $P_n(k) = C_n^k \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

выиграть у равноценного игрока четыре партии из пяти

Рассчитаем вероятность этого события, обозначим ее $P_1$. В данном случае общее число партий (испытаний) $n=5$, а число желаемых побед (успехов) $k=4$. $P_1 = C_5^4 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Ответ: Вероятность этого события равна $\frac{5}{32}$.

шесть партий из девяти

Рассчитаем вероятность этого события, обозначим ее $P_2$. Здесь общее число партий $n=9$, а число желаемых побед $k=6$. $P_2 = C_9^6 \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{9!}{6!(9-6)!} \cdot \frac{1}{512} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{512} = 84 \cdot \frac{1}{512} = \frac{84}{512}$. Сократив дробь на 4, получаем: $P_2 = \frac{21}{128}$.

Ответ: Вероятность этого события равна $\frac{21}{128}$.

Теперь необходимо сравнить полученные вероятности $P_1 = \frac{5}{32}$ и $P_2 = \frac{21}{128}$, чтобы определить, какое из событий более вероятно. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 128: $P_1 = \frac{5}{32} = \frac{5 \cdot 4}{32 \cdot 4} = \frac{20}{128}$. Сравнивая дроби, получаем: $\frac{21}{128} > \frac{20}{128}$, следовательно, $P_2 > P_1$.

Это означает, что выиграть шесть партий из девяти является более вероятным событием, чем выиграть четыре партии из пяти.

Ответ: Более вероятно выиграть шесть партий из девяти.