Номер 166, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Игральный кубик бросают девять раз. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет:

1) три раза;

2) больше трёх, но меньше шести раз?

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Каждое бросание кубика является независимым испытанием.

Определим параметры для формулы Бернулли:

• Количество испытаний (бросков кубика): $n=9$.
• "Успех" - выпадение шестёрки. Вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{1}{6}$.
• "Неудача" - невыпадение шестёрки. Вероятность неудачи в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие произойдёт ровно $k$ раз, имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

1) три раза

Нам нужно найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно $k=3$ раза. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_9(3) = C_9^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{9-3} = C_9^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Теперь подставим это значение обратно в формулу вероятности:

$P_9(3) = 84 \cdot \frac{1^3}{6^3} \cdot \frac{5^6}{6^6} = 84 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{15625}{46656} = \frac{84 \cdot 5^6}{6^9}$

Выполним вычисления и упростим дробь:

$P_9(3) = \frac{84 \cdot 15625}{10077696} = \frac{1312500}{10077696}$

Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

$6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9$

$P_9(3) = \frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5^6}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{7 \cdot 5^6}{2^7 \cdot 3^8} = \frac{7 \cdot 15625}{128 \cdot 6561} = \frac{109375}{839808}$

Ответ: $P_9(3) = \frac{109375}{839808} \approx 0.13$

2) больше трёх, но меньше шести раз

Это означает, что шестёрка должна выпасть либо 4 раза, либо 5 раз. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_9(4)$ и $P_9(5)$.

$P(3 < k < 6) = P_9(4) + P_9(5)$

Сначала найдём $P_9(4)$:

$P_9(4) = C_9^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{9-4} = C_9^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^5$

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$

$P_9(4) = 126 \cdot \frac{5^5}{6^9} = \frac{126 \cdot 3125}{10077696} = \frac{393750}{10077696}$

Теперь найдём $P_9(5)$:

$P_9(5) = C_9^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{9-5} = C_9^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^4$

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = C_9^4 = 126$

$P_9(5) = 126 \cdot \frac{5^4}{6^9} = \frac{126 \cdot 625}{10077696} = \frac{78750}{10077696}$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(3 < k < 6) = \frac{393750}{10077696} + \frac{78750}{10077696} = \frac{393750 + 78750}{10077696} = \frac{472500}{10077696}$

Упростим полученную дробь. Можно заметить, что числитель и знаменатель делятся на 180:

$P_9(4) = \frac{7 \cdot 5^5}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{21875}{559872}$

$P_9(5) = \frac{7 \cdot 5^4}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{4375}{559872}$

$P(3 < k < 6) = \frac{21875}{559872} + \frac{4375}{559872} = \frac{26250}{559872}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{26250 \div 6}{559872 \div 6} = \frac{4375}{93312}$

Ответ: $P(3 < k < 6) = \frac{4375}{93312} \approx 0.047$