Номер 159, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. В одном ящике лежат 5 красных, 9 белых и 8 чёрных шаров, а в другом — 3 красных, 7 белых и 10 чёрных шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения задачи необходимо вычислить вероятность того, что наугад взятые шары из двух ящиков окажутся одного цвета. Это событие состоит из трёх несовместных событий: оба шара красные, оба шара белые или оба шара чёрные. Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей этих трёх событий.

1. Расчет общего количества шаров в каждом ящике

Сначала определим общее количество шаров в каждом ящике, чтобы найти вероятности извлечения шара определённого цвета.

Количество шаров в первом ящике: $5 (\text{красных}) + 9 (\text{белых}) + 8 (\text{чёрных}) = 22$ шара.

Количество шаров во втором ящике: $3 (\text{красных}) + 7 (\text{белых}) + 10 (\text{чёрных}) = 20$ шаров.

2. Расчет вероятности для каждого возможного случая

Так как выбор шара из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара будут определённого цвета, равна произведению вероятностей извлечения шара этого цвета из каждого ящика.

Случай 1: Оба шара красные

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P_1(К) = \frac{5}{22}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P_2(К) = \frac{3}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся красными: $P(КК) = P_1(К) \times P_2(К) = \frac{5}{22} \times \frac{3}{20} = \frac{15}{440}$.

Случай 2: Оба шара белые

Вероятность вытащить белый шар из первого ящика: $P_1(Б) = \frac{9}{22}$.

Вероятность вытащить белый шар из второго ящика: $P_2(Б) = \frac{7}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся белыми: $P(ББ) = P_1(Б) \times P_2(Б) = \frac{9}{22} \times \frac{7}{20} = \frac{63}{440}$.

Случай 3: Оба шара чёрные

Вероятность вытащить чёрный шар из первого ящика: $P_1(Ч) = \frac{8}{22}$.

Вероятность вытащить чёрный шар из второго ящика: $P_2(Ч) = \frac{10}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся чёрными: $P(ЧЧ) = P_1(Ч) \times P_2(Ч) = \frac{8}{22} \times \frac{10}{20} = \frac{80}{440}$.

3. Расчет итоговой вероятности

Итоговая вероятность того, что взятые шары будут одного цвета, равна сумме вероятностей трёх описанных выше несовместных событий.

$P(\text{один цвет}) = P(КК) + P(ББ) + P(ЧЧ) = \frac{15}{440} + \frac{63}{440} + \frac{80}{440} = \frac{15 + 63 + 80}{440} = \frac{158}{440}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(\text{один цвет}) = \frac{158 \div 2}{440 \div 2} = \frac{79}{220}$.

Ответ: $\frac{79}{220}$