Номер 156, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Из коробки, в которой лежат 5 синих и 9 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар синий, а второй — красный.

Для решения этой задачи нужно найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Обозначим события:
Событие A: первый взятый шар — синий.
Событие B: второй взятый шар — красный.

Изначально в коробке находится $5$ синих и $9$ красных шаров. Общее количество шаров равно:
$N_1 = 5 + 9 = 14$

Вероятность события A (вытащить синий шар первым) вычисляется как отношение количества синих шаров к общему количеству шаров:
$P(A) = \frac{\text{количество синих шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{5}{14}$

После того как первый синий шар был вытащен, в коробке осталось на один шар меньше. Новое состояние коробки:
Количество синих шаров: $5 - 1 = 4$
Количество красных шаров: $9$ (не изменилось)
Новое общее количество шаров: $N_2 = 14 - 1 = 13$

Теперь вычислим вероятность события B (вытащить красный шар вторым) при условии, что событие A уже произошло. Эта условная вероятность $P(B|A)$ равна отношению количества красных шаров к новому общему количеству шаров:
$P(B|A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{9}{13}$

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно (сначала вытащат синий шар, а затем красный), равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго:
$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(A \text{ и } B) = \frac{5}{14} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{14 \cdot 13} = \frac{45}{182}$

Ответ: $\frac{45}{182}$