Номер 155, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В ящике лежат 4 белых и 3 чёрных шара. Наугад из ящика достают два шара и кладут их обратно. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белого цвета?

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность того, что оба раза из ящика будут вынуты по два белых шара.

Всего в ящике находится $4$ белых и $3$ чёрных шара, то есть $4 + 3 = 7$ шаров.

Обозначим событие A — при первой операции из ящика достали два белых шара.

Вычислим вероятность этого события.

Общее число способов достать 2 шара из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

Число способов достать 2 белых шара из 4 имеющихся белых шаров равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Вероятность события A (в первый раз достали два белых шара) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{C_4^2}{C_7^2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

Согласно условию, после первой операции шары возвращают в ящик, и операцию повторяют ещё раз. Это означает, что вторая операция является независимым событием с теми же начальными условиями.

Пусть событие B — при второй операции из ящика достали два белых шара. Вероятность этого события такая же, как и у события A:

$P(B) = \frac{2}{7}$

Нам нужно найти вероятность того, что произойдут оба события: и в первый, и во второй раз будут вынуты белые шары. Так как события независимы, искомая вероятность равна произведению вероятностей этих событий:

$P(\text{все шары белые}) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{49}$

Ответ: $\frac{4}{49}$