Номер 148, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В каждой из двух колод лежит по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Для решения задачи определим пространство элементарных исходов. Так как из каждой из двух колод, содержащих по 3 карточки (1, 2, 3), вынимается по одной карточке, то каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — номер карточки из второй.

Общее число всех возможных равновероятных исходов $N$ равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим их все: $(1,1), (1,2), (1,3)$
$(2,1), (2,2), (2,3)$
$(3,1), (3,2), (3,3)$

Событие $A$ заключается в том, что сумма очков на карточках чётная. Сумма двух чисел чётна тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). В наших колодах числа 1 и 3 — нечётные, а 2 — чётное.

Исходы, благоприятствующие событию $A$ (сумма чётная):
- Оба числа нечётные: $(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)$.
- Оба числа чётные: $(2,2)$.
Всего благоприятствующих исходов для $A$ — 5. Таким образом, вероятность события $A$:
$P(A) = \frac{5}{9}$.

Событие $B$ заключается в том, что по крайней мере одна из карточек имеет номер 1.

Исходы, благоприятствующие событию $B$ (хотя бы одна '1'):
$(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1)$.
Всего благоприятствующих исходов для $B$ — 5. Таким образом, вероятность события $B$:
$P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию $A$. Оно означает, что сумма очков на карточках нечётная. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Поскольку $P(A) = \frac{5}{9}$, то вероятность события $\bar{A}$ равна:
$P(\bar{A}) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение) означает, что события $A$ и $B$ происходят одновременно. То есть, сумма очков является чётной, и при этом хотя бы одна из карточек имеет номер 1.

Найдём исходы, которые удовлетворяют обоим условиям, выбрав их из множества исходов для события $B$:
- $(1,1)$: сумма $1+1=2$ (чётная). Подходит.
- $(1,2)$: сумма $1+2=3$ (нечётная). Не подходит.
- $(1,3)$: сумма $1+3=4$ (чётная). Подходит.
- $(2,1)$: сумма $2+1=3$ (нечётная). Не подходит.
- $(3,1)$: сумма $3+1=4$ (чётная). Подходит.
Таким образом, событию $A \cap B$ благоприятствуют 3 исхода: $(1,1), (1,3), (3,1)$.

Вероятность события $A \cap B$ равна:
$P(A \cap B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$. То есть, либо сумма очков чётная, либо хотя бы одна карточка — 1 (или и то, и другое).

Вероятность объединения событий можно найти по формуле сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Мы уже нашли все необходимые значения:
$P(A) = \frac{5}{9}$
$P(B) = \frac{5}{9}$
$P(A \cap B) = \frac{3}{9}$

Подставляем значения в формулу:
$P(A \cup B) = \frac{5}{9} + \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5+5-3}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$