gdz.top
Номер 142, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 1. Бином Ньютона - номер 142, страница 29.
№141
№142 (с. 29)
Условие. №142 (с. 29)
142. В выражении $(x^6 + \frac{1}{x^2})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что седьмой член разложения имеет вид $84x^6$. Найдите $n$.
Решение. №142 (с. 29)
Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(k+1)$-го члена разложения $(a+b)^n$:$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.
В нашем выражении $(x^6 + \frac{1}{x^2})^n$ имеем $a = x^6$ и $b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
По условию, седьмой член разложения ($T_7$) имеет вид $84x^6$. Для седьмого члена $k+1 = 7$, следовательно, $k=6$. Подставим $k=6$, $a=x^6$ и $b=x^{-2}$ в общую формулу:$T_7 = C_n^6 (x^6)^{n-6} (x^{-2})^6$
Упростим это выражение. Сначала разберемся со степенями $x$:$(x^6)^{n-6} (x^{-2})^6 = x^{6(n-6)} \cdot x^{-12} = x^{6n-36-12} = x^{6n-48}$
Таким образом, седьмой член разложения равен:$T_7 = C_n^6 x^{6n-48}$
Теперь приравняем полученное выражение к данному в условии:$C_n^6 x^{6n-48} = 84x^6$
Из этого равенства следует система двух уравнений, одно для коэффициентов, другое для показателей степени $x$:$\begin{cases} C_n^6 = 84 \\ 6n - 48 = 6 \end{cases}$
Решим второе уравнение, чтобы найти $n$:$6n = 6 + 48$$6n = 54$$n = 9$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=9$ первому уравнению системы. Вычислим $C_9^6$:$C_9^6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84$
Так как $C_9^6 = 84$, первое уравнение также выполняется. Следовательно, значение $n=9$ является решением задачи.
Ответ: 9
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 142 расположенного на странице 29 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №142 (с. 29), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.