Страница 29 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В выражении $(a+b)^n$ раскрыли скобки, используя формулу бинома Ньютона. Оказалось, что сумма коэффициентов полученного многочлена равна 256. Найдите значение $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая определяет разложение степени двучлена $(a+b)^n$:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}a^0b^n$.

Коэффициентами в этом разложении являются биномиальные коэффициенты: $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots, \binom{n}{n}$.

Чтобы найти сумму всех коэффициентов полученного многочлена, достаточно подставить в исходное выражение значения переменных, равные единице, то есть $a=1$ и $b=1$.

Подставляя $a=1$ и $b=1$ в левую часть тождества, получаем:
$(1+1)^n = 2^n$.

При подстановке этих же значений в правую часть, получаем сумму коэффициентов:
$\binom{n}{0}1^n 1^0 + \binom{n}{1}1^{n-1}1^1 + \dots + \binom{n}{n}1^01^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n}$.

Таким образом, сумма коэффициентов в разложении бинома Ньютона равна $2^n$.

По условию задачи, эта сумма равна 256. Составим и решим уравнение:
$2^n = 256$.

Представим число 256 в виде степени числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
$2^8 = 256$.
Следовательно, наше уравнение принимает вид:
$2^n = 2^8$.
Отсюда находим, что $n=8$.

Ответ: $8$.

136. В выражении $(4x-1)^8$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Чему равна сумма коэффициентов полученного многочлена?

Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена, полученного в результате раскрытия скобок, необходимо подставить в исходное выражение значение переменной, равное 1.

Пусть дано выражение $P(x) = (4x-1)^8$. При раскрытии скобок по формуле бинома Ньютона мы получим многочлен вида:

$P(x) = a_8x^8 + a_7x^7 + \dots + a_1x + a_0$

где $a_i$ — это коэффициенты многочлена.

Сумма коэффициентов этого многочлена равна:

$S = a_8 + a_7 + \dots + a_1 + a_0$

Если мы подставим $x=1$ в выражение для многочлена, то все степени $x$ станут равны 1:

$P(1) = a_8(1)^8 + a_7(1)^7 + \dots + a_1(1) + a_0 = a_8 + a_7 + \dots + a_1 + a_0$

Таким образом, сумма коэффициентов $S$ равна значению многочлена $P(x)$ при $x=1$.

Вычислим значение исходного выражения $(4x-1)^8$ при $x=1$:

$(4 \cdot 1 - 1)^8 = (4 - 1)^8 = 3^8$

Осталось вычислить $3^8$:

$3^2 = 9$

$3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81$

$3^8 = (3^4)^2 = 81^2 = 6561$

Следовательно, сумма коэффициентов полученного многочлена равна 6561.

Ответ: 6561

137. Найдите отношение суммы чисел в 25-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 17-й строке.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство треугольника Паскаля, согласно которому сумма чисел в $n$-й строке равна $2^{n-1}$ (если нумерация строк начинается с 1).

Пусть $S_k$ — это сумма чисел в $k$-й строке треугольника Паскаля.

1. Найдем сумму чисел в 25-й строке. Для этого подставим $k=25$ в формулу:
$S_{25} = 2^{25-1} = 2^{24}$

2. Аналогично найдем сумму чисел в 17-й строке, подставив $k=17$:
$S_{17} = 2^{17-1} = 2^{16}$

3. Теперь найдем отношение суммы чисел в 25-й строке к сумме чисел в 17-й строке:
$\frac{S_{25}}{S_{17}} = \frac{2^{24}}{2^{16}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:
$\frac{2^{24}}{2^{16}} = 2^{24-16} = 2^8$

4. Вычислим полученное значение:
$2^8 = 256$

Таким образом, отношение суммы чисел в 25-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 17-й строке равно 256.

Ответ: 256

138. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 21-й строке треугольника Паскаля.

Числа, стоящие в n-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с 1), представляют собой биномиальные коэффициенты $C_{n-1}^k = \binom{n-1}{k}$, где $k$ пробегает значения от $0$ до $n-1$. Следовательно, 21-я строка треугольника Паскаля состоит из коэффициентов для $n=21-1=20$, то есть из чисел:$\binom{20}{0}, \binom{20}{1}, \binom{20}{2}, \dots, \binom{20}{20}$.

Требуется найти сумму чисел, стоящих на чётных местах. При нумерации мест в строке с 1 (первое место, второе, третье и т.д.), чётными являются второе, четвертое, шестое и т.д. места. Этим местам соответствуют биномиальные коэффициенты с нечётными нижними индексами: $\binom{20}{1}, \binom{20}{3}, \binom{20}{5}, \dots, \binom{20}{19}$.

Таким образом, искомая сумма $S$ равна:$S = \binom{20}{1} + \binom{20}{3} + \binom{20}{5} + \dots + \binom{20}{19}$.

Для вычисления этой суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Рассмотрим два частных случая для $n=20$.

1. При $a=1$ и $b=1$ получаем сумму всех коэффициентов в строке:$(1+1)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} = \binom{20}{0} + \binom{20}{1} + \binom{20}{2} + \dots + \binom{20}{20}$. Следовательно, $2^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k}$.

2. При $a=1$ и $b=-1$ получаем знакочередующуюся сумму коэффициентов:$(1-1)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} (-1)^k = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{20}$. Следовательно, $0 = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{20}$.

Обозначим сумму коэффициентов с чётными нижними индексами (стоящих на нечётных местах) как $S_{чк} = \binom{20}{0} + \binom{20}{2} + \dots + \binom{20}{20}$, а сумму коэффициентов с нечётными нижними индексами (искомую сумму $S$, стоящую на чётных местах) как $S_{нчк} = \binom{20}{1} + \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{19}$.

Тогда наши два равенства можно записать в виде системы уравнений:
$S_{чк} + S_{нчк} = 2^{20}$
$S_{чк} - S_{нчк} = 0$

Из второго уравнения получаем $S_{чк} = S_{нчк}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$S_{нчк} + S_{нчк} = 2^{20}$
$2 \cdot S_{нчк} = 2^{20}$
$S_{нчк} = \frac{2^{20}}{2} = 2^{19}$.

Таким образом, искомая сумма $S$ равна $2^{19}$. Вычислим это значение:
$2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 = 524288$.

Ответ: 524288

139. Докажите равенство:

$5^{60} - C_{60}^{1} 5^{59} 2^{1} + C_{60}^{2} 5^{58} 2^{2} - \dots - C_{60}^{59} 5^{1} 2^{59} + 2^{60} =$

$ = 10^{30} - C_{30}^{1} 10^{29} + C_{30}^{2} 10^{28} - \dots - C_{30}^{29} 10^{1} + 1.$

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона для разности: $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} (-b)^k$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$5^{60} - C_{60}^1 5^{59} \cdot 2^1 + C_{60}^2 5^{58} \cdot 2^2 - \ldots - C_{60}^{59} 5^1 \cdot 2^{59} + 2^{60}$

Эта сумма в точности соответствует разложению выражения $(5-2)^{60}$ по формуле бинома Ньютона, где $a=5$, $b=2$ и $n=60$.

Следовательно, левая часть равна $(5-2)^{60} = 3^{60}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

$10^{30} - C_{30}^1 10^{29} + C_{30}^2 10^{28} - \ldots - C_{30}^{29} 10^1 + 1$

Эта сумма является разложением выражения $(10-1)^{30}$ по формуле бинома Ньютона, где $a=10$, $b=1$ и $n=30$.

Следовательно, правая часть равна $(10-1)^{30} = 9^{30}$.

Для завершения доказательства необходимо показать, что полученные значения левой и правой частей равны, то есть $3^{60} = 9^{30}$.

Преобразуем правую часть $9^{30}$, представив основание 9 в виде степени числа 3, то есть $9=3^2$:

$9^{30} = (3^2)^{30}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$(3^2)^{30} = 3^{2 \cdot 30} = 3^{60}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равна $3^{60}$ и правая часть равна $3^{60}$. Поскольку обе части равны одному и тому же значению, исходное равенство является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как обе его части сводятся к $3^{60}$.

140. Какой по номеру член разложения выражения $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{15}$ по формуле бинома Ньютона не зависит от $x$?

Для нахождения члена разложения, не зависящего от $x$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $n = 15$.

Представим $a$ и $b$ в виде степеней с рациональными показателями:

$a = x^{1/3}$

$b = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$

Теперь подставим эти значения в формулу общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_{15}^k (x^{1/3})^{15-k} (x^{-1/2})^k$

Применяя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение для $x$:

$T_{k+1} = C_{15}^k x^{\frac{1}{3}(15-k)} x^{-\frac{1}{2}k} = C_{15}^k x^{\frac{15-k}{3} - \frac{k}{2}}$

Член разложения не будет зависеть от $x$, если показатель степени при $x$ будет равен нулю. Составим и решим уравнение:

$\frac{15-k}{3} - \frac{k}{2} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2(15-k) - 3k}{6} = 0$

$2(15-k) - 3k = 0$

$30 - 2k - 3k = 0$

$30 - 5k = 0$

$5k = 30$

$k = 6$

Поскольку нумерация членов в разложении начинается с $k=0$ (первый член), то член с индексом $k=6$ является $(k+1)$-м по счету, то есть седьмым.

Таким образом, седьмой член разложения не зависит от $x$.

Ответ: 7.

141. В выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})^{30}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых является рациональными числами?

Для нахождения количества рациональных слагаемых в разложении выражения $(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})^{30}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$, $b = \sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $n=30$.

Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = \binom{30}{k} (\sqrt[3]{5})^{30-k} (\sqrt{3})^k = \binom{30}{k} (5^{1/3})^{30-k} (3^{1/2})^k = \binom{30}{k} 5^{\frac{30-k}{3}} 3^{\frac{k}{2}}$

где $k$ — целое число, принимающее значения от 0 до 30.

Для того чтобы слагаемое $T_{k+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы степени, в которые возводятся числа 5 и 3, были целыми числами. Биномиальный коэффициент $\binom{30}{k}$ всегда является целым, а значит, и рациональным числом.

Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

1. Показатель степени у числа 5, равный $\frac{30-k}{3}$, должен быть целым числом. Это означает, что разность $(30-k)$ должна быть кратна 3. Поскольку 30 кратно 3, это условие равносильно тому, что $k$ должно быть кратно 3.

2. Показатель степени у числа 3, равный $\frac{k}{2}$, должен быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 2.

Итак, для того чтобы член разложения был рациональным, значение $k$ должно быть одновременно кратно 2 и 3. Это означает, что $k$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть $НОК(2, 3) = 6$.

Найдем все значения $k$ в диапазоне $0 \le k \le 30$, которые кратны 6:

$k \in \{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$

Всего таких значений 6.

Каждому из этих значений $k$ соответствует одно рациональное слагаемое в разложении. Следовательно, количество рациональных слагаемых равно 6.

Ответ: 6

142. В выражении $(x^6 + \frac{1}{x^2})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что седьмой член разложения имеет вид $84x^6$. Найдите $n$.

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для $(k+1)$-го члена разложения $(a+b)^n$:$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.

В нашем выражении $(x^6 + \frac{1}{x^2})^n$ имеем $a = x^6$ и $b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

По условию, седьмой член разложения ($T_7$) имеет вид $84x^6$. Для седьмого члена $k+1 = 7$, следовательно, $k=6$. Подставим $k=6$, $a=x^6$ и $b=x^{-2}$ в общую формулу:$T_7 = C_n^6 (x^6)^{n-6} (x^{-2})^6$

Упростим это выражение. Сначала разберемся со степенями $x$:$(x^6)^{n-6} (x^{-2})^6 = x^{6(n-6)} \cdot x^{-12} = x^{6n-36-12} = x^{6n-48}$

Таким образом, седьмой член разложения равен:$T_7 = C_n^6 x^{6n-48}$

Теперь приравняем полученное выражение к данному в условии:$C_n^6 x^{6n-48} = 84x^6$

Из этого равенства следует система двух уравнений, одно для коэффициентов, другое для показателей степени $x$:$\begin{cases} C_n^6 = 84 \\ 6n - 48 = 6 \end{cases}$

Решим второе уравнение, чтобы найти $n$:$6n = 6 + 48$$6n = 54$$n = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=9$ первому уравнению системы. Вычислим $C_9^6$:$C_9^6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84$

Так как $C_9^6 = 84$, первое уравнение также выполняется. Следовательно, значение $n=9$ является решением задачи.

Ответ: 9

143. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжиков. Какова вероятность того, что выбранный наугад гриб — белый или рыжик?

Для решения задачи воспользуемся теоремой о сложении вероятностей.

Пусть событие А заключается в том, что выбранный гриб — белый.
Пусть событие Б заключается в том, что выбранный гриб — рыжик.

Согласно условию, доля белых грибов составляет 10%, а доля рыжиков — 40%. Вероятность события равна доле благоприятных исходов, поэтому, выражая проценты в виде десятичных дробей, получаем:

Вероятность выбрать белый гриб: $P(А) = 10\% = 0.1$.

Вероятность выбрать рыжик: $P(Б) = 40\% = 0.4$.

События А и Б являются несовместными, так как один и тот же гриб не может быть одновременно и белым, и рыжиком. Вероятность того, что произойдет одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей.

Таким образом, вероятность того, что выбранный гриб окажется белым или рыжиком, равна:

$P(А \text{ или } Б) = P(А) + P(Б) = 0.1 + 0.4 = 0.5$

Ответ: 0.5