Номер 138, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 21-й строке треугольника Паскаля.

Числа, стоящие в n-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с 1), представляют собой биномиальные коэффициенты $C_{n-1}^k = \binom{n-1}{k}$, где $k$ пробегает значения от $0$ до $n-1$. Следовательно, 21-я строка треугольника Паскаля состоит из коэффициентов для $n=21-1=20$, то есть из чисел:$\binom{20}{0}, \binom{20}{1}, \binom{20}{2}, \dots, \binom{20}{20}$.

Требуется найти сумму чисел, стоящих на чётных местах. При нумерации мест в строке с 1 (первое место, второе, третье и т.д.), чётными являются второе, четвертое, шестое и т.д. места. Этим местам соответствуют биномиальные коэффициенты с нечётными нижними индексами: $\binom{20}{1}, \binom{20}{3}, \binom{20}{5}, \dots, \binom{20}{19}$.

Таким образом, искомая сумма $S$ равна:$S = \binom{20}{1} + \binom{20}{3} + \binom{20}{5} + \dots + \binom{20}{19}$.

Для вычисления этой суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Рассмотрим два частных случая для $n=20$.

1. При $a=1$ и $b=1$ получаем сумму всех коэффициентов в строке:$(1+1)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} = \binom{20}{0} + \binom{20}{1} + \binom{20}{2} + \dots + \binom{20}{20}$. Следовательно, $2^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k}$.

2. При $a=1$ и $b=-1$ получаем знакочередующуюся сумму коэффициентов:$(1-1)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} (-1)^k = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{20}$. Следовательно, $0 = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{20}$.

Обозначим сумму коэффициентов с чётными нижними индексами (стоящих на нечётных местах) как $S_{чк} = \binom{20}{0} + \binom{20}{2} + \dots + \binom{20}{20}$, а сумму коэффициентов с нечётными нижними индексами (искомую сумму $S$, стоящую на чётных местах) как $S_{нчк} = \binom{20}{1} + \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{19}$.

Тогда наши два равенства можно записать в виде системы уравнений:
$S_{чк} + S_{нчк} = 2^{20}$
$S_{чк} - S_{нчк} = 0$

Из второго уравнения получаем $S_{чк} = S_{нчк}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$S_{нчк} + S_{нчк} = 2^{20}$
$2 \cdot S_{нчк} = 2^{20}$
$S_{нчк} = \frac{2^{20}}{2} = 2^{19}$.

Таким образом, искомая сумма $S$ равна $2^{19}$. Вычислим это значение:
$2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 = 524288$.

Ответ: 524288