Номер 133, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(x - y)^7;$

2) $(3x - 1)^4;$

3) $(a^2 + 1)^6;$

4) $(\frac{1}{x} - 1)^5.$

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальные коэффициенты.

Значения коэффициентов $C_n^k$ для нужных степеней $n$ можно взять из треугольника Паскаля:

• для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1
• для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1
• для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
• для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

1) Раскроем скобки в выражении $(x-y)^7$.

Применим формулу бинома Ньютона, где $a=x$, $b=-y$ и $n=7$.

$(x - y)^7 = C_7^0 x^7 (-y)^0 + C_7^1 x^6 (-y)^1 + C_7^2 x^5 (-y)^2 + C_7^3 x^4 (-y)^3 + C_7^4 x^3 (-y)^4 + C_7^5 x^2 (-y)^5 + C_7^6 x^1 (-y)^6 + C_7^7 x^0 (-y)^7$

Подставляем значения биномиальных коэффициентов для $n=7$ и упрощаем выражение, обращая внимание на знаки, которые чередуются из-за $(-y)$ в нечетных степенях:

$(x - y)^7 = 1 \cdot x^7 \cdot 1 - 7 \cdot x^6 y + 21 \cdot x^5 y^2 - 35 \cdot x^4 y^3 + 35 \cdot x^3 y^4 - 21 \cdot x^2 y^5 + 7 \cdot x y^6 - 1 \cdot y^7$

$(x - y)^7 = x^7 - 7x^6y + 21x^5y^2 - 35x^4y^3 + 35x^3y^4 - 21x^2y^5 + 7xy^6 - y^7$

Ответ: $x^7 - 7x^6y + 21x^5y^2 - 35x^4y^3 + 35x^3y^4 - 21x^2y^5 + 7xy^6 - y^7$

2) Раскроем скобки в выражении $(3x-1)^4$.

Здесь $a=3x$, $b=-1$ и $n=4$.

$(3x - 1)^4 = C_4^0 (3x)^4 (-1)^0 + C_4^1 (3x)^3 (-1)^1 + C_4^2 (3x)^2 (-1)^2 + C_4^3 (3x)^1 (-1)^3 + C_4^4 (3x)^0 (-1)^4$

Подставляем коэффициенты для $n=4$ и вычисляем степени:

$(3x - 1)^4 = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-1) + 6 \cdot (9x^2) \cdot 1 + 4 \cdot (3x) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$(3x - 1)^4 = 81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1$

Ответ: $81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1$

3) Раскроем скобки в выражении $(a^2+1)^6$.

Здесь $a=a^2$, $b=1$ и $n=6$.

$(a^2 + 1)^6 = C_6^0 (a^2)^6 (1)^0 + C_6^1 (a^2)^5 (1)^1 + C_6^2 (a^2)^4 (1)^2 + C_6^3 (a^2)^3 (1)^3 + C_6^4 (a^2)^2 (1)^4 + C_6^5 (a^2)^1 (1)^5 + C_6^6 (a^2)^0 (1)^6$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, все слагаемые будут со знаком плюс. Подставляем коэффициенты для $n=6$ и упрощаем:

$(a^2 + 1)^6 = 1 \cdot a^{12} + 6 \cdot a^{10} + 15 \cdot a^8 + 20 \cdot a^6 + 15 \cdot a^4 + 6 \cdot a^2 + 1 \cdot 1$

$(a^2 + 1)^6 = a^{12} + 6a^{10} + 15a^8 + 20a^6 + 15a^4 + 6a^2 + 1$

Ответ: $a^{12} + 6a^{10} + 15a^8 + 20a^6 + 15a^4 + 6a^2 + 1$

4) Раскроем скобки в выражении $(\frac{1}{x}-1)^5$.

Здесь $a=\frac{1}{x}$, $b=-1$ и $n=5$.

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = C_5^0 (\frac{1}{x})^5 (-1)^0 + C_5^1 (\frac{1}{x})^4 (-1)^1 + C_5^2 (\frac{1}{x})^3 (-1)^2 + C_5^3 (\frac{1}{x})^2 (-1)^3 + C_5^4 (\frac{1}{x})^1 (-1)^4 + C_5^5 (\frac{1}{x})^0 (-1)^5$

Подставляем коэффициенты для $n=5$ и упрощаем, учитывая чередование знаков:

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = 1 \cdot \frac{1}{x^5} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (-1) + 10 \cdot \frac{1}{x^3} \cdot 1 + 10 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot (-1) + 5 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$

$(\frac{1}{x} - 1)^5 = \frac{1}{x^5} - \frac{5}{x^4} + \frac{10}{x^3} - \frac{10}{x^2} + \frac{5}{x} - 1$

Ответ: $\frac{1}{x^5} - \frac{5}{x^4} + \frac{10}{x^3} - \frac{10}{x^2} + \frac{5}{x} - 1$