Номер 130, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. В первые три вагона поезда надо рассадить 30 пассажиров по 10 в каждый вагон. Сколько существует способов это сделать?

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью последовательного применения формулы для числа сочетаний. Нам нужно разбить 30 уникальных пассажиров на три упорядоченные группы (вагоны) по 10 человек в каждой.

1. Сначала выберем 10 пассажиров для первого вагона.
Из 30 пассажиров нужно выбрать 10. Порядок, в котором мы выбираем пассажиров для одного вагона, не важен, поэтому мы используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 10 пассажиров из 30:
$C_{30}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!}$

2. Затем выберем 10 пассажиров для второго вагона.
После того как 10 пассажиров были выбраны для первого вагона, осталось $30 - 10 = 20$ пассажиров. Из них нужно выбрать 10 для второго вагона.
Количество способов выбрать 10 пассажиров из оставшихся 20:
$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!}$

3. Выберем 10 пассажиров для третьего вагона.
Осталось $20 - 10 = 10$ пассажиров. Все они должны сесть в третий вагон. Существует только один способ выбрать 10 пассажиров из 10.
$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$ (так как по определению $0! = 1$).

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для каждого этапа, так как выборы для каждого вагона являются независимыми событиями в последовательности.
Общее число способов $N = C_{30}^{10} \times C_{20}^{10} \times C_{10}^{10}$
$N = \frac{30!}{10!20!} \times \frac{20!}{10!10!} \times 1$
Сократив $20!$ в числителе и знаменателе, получим:
$N = \frac{30!}{10! \cdot 10! \cdot 10!} = \frac{30!}{(10!)^3}$

Это число также известно как мультиномиальный коэффициент $\binom{30}{10, 10, 10}$.
Ответ: $\frac{30!}{(10!)^3}$