Номер 128, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. На прямой отметили 17 точек, а на параллельной ей прямой — 9 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы три точки образовали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. В данной задаче точки расположены на двух параллельных прямых. Обозначим первую прямую, на которой 17 точек, как $l_1$, а вторую прямую, на которой 9 точек, как $l_2$.

Чтобы составить треугольник, его вершины нужно выбрать одним из двух следующих способов:
1. Две вершины на прямой $l_1$ и одна вершина на прямой $l_2$.
2. Одна вершина на прямой $l_1$ и две вершины на прямой $l_2$.

Рассмотрим оба случая, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.

Случай 1: Две вершины на первой прямой и одна на второй

Сначала найдем количество способов выбрать 2 точки из 17, расположенных на прямой $l_1$. Это число сочетаний из 17 по 2:
$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17 \cdot 16}{2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 = 136$.

Затем найдем количество способов выбрать 1 точку из 9, расположенных на прямой $l_2$:
$C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$.

Общее количество треугольников в этом случае находится по правилу произведения в комбинаторике:
$N_1 = C_{17}^2 \cdot C_9^1 = 136 \cdot 9 = 1224$.

Случай 2: Одна вершина на первой прямой и две на второй

Теперь найдем количество способов выбрать 1 точку из 17 на прямой $l_1$:
$C_{17}^1 = \frac{17!}{1!(17-1)!} = 17$.

Далее найдем количество способов выбрать 2 точки из 9 на прямой $l_2$:
$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 4 = 36$.

Общее количество треугольников для этого случая:
$N_2 = C_{17}^1 \cdot C_9^2 = 17 \cdot 36 = 612$.

Общее количество треугольников

Чтобы найти общее количество всех возможных треугольников, нужно сложить количества, полученные в первом и втором случаях:
$N_{общ} = N_1 + N_2 = 1224 + 612 = 1836$.

Ответ: 1836