Номер 132, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 7, 9 и 10 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы четыре точки могли быть вершинами тетраэдра, они не должны лежать в одной плоскости. По условию, у нас есть три параллельные прямые a, b и c, которые не лежат в одной плоскости. На прямой a отмечено 7 точек, на прямой b — 9 точек, и на прямой c — 10 точек.

Тетраэдр не может быть образован, если все четыре его вершины лежат в одной плоскости (копланарны). Это произойдет в следующих случаях:

- Все четыре точки выбраны на одной из прямых (они коллинеарны).

- Три точки выбраны на одной прямой, а четвертая — на другой. Три точки определяют прямую, а прямая и точка вне ее задают плоскость.

- Две точки выбраны на одной прямой и две — на другой. Две параллельные прямые также задают плоскость.

Единственный способ выбрать четыре не копланарные точки (т.е. образовать тетраэдр) — это взять две точки с одной прямой и по одной точке с двух других прямых. Например, если взять две точки с прямой a, одну с b и одну с c, то точки с прямых a и b лежат в плоскости, определяемой этими параллельными прямыми, а точка с прямой c не лежит в этой плоскости по условию задачи. Таким образом, эти четыре точки не копланарны.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые приводят к образованию тетраэдра:

1. Выбираем 2 точки с прямой a, 1 точку с прямой b и 1 точку с прямой c. Число способов сделать это равно произведению числа сочетаний для каждой прямой: $C_7^2 \cdot C_9^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 21 \cdot 90 = 1890$.

2. Выбираем 2 точки с прямой b, 1 точку с прямой a и 1 точку с прямой c. Число способов: $C_9^2 \cdot C_7^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot 7 \cdot 10 = 36 \cdot 70 = 2520$.

3. Выбираем 2 точки с прямой c, 1 точку с прямой a и 1 точку с прямой b. Число способов: $C_{10}^2 \cdot C_7^1 \cdot C_9^1 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 7 \cdot 9 = 45 \cdot 63 = 2835$.

Общее количество тетраэдров равно сумме количества способов в этих трех взаимоисключающих случаях: $1890 + 2520 + 2835 = 7245$.

Ответ: 7245