Номер 125, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. На окружности отметили 35 красных точек и 36 синих точек. В каком из множеств больше элементов:

в множестве семиугольников и восьмиугольников с вершинами в красных точках или в множестве восьмиугольников с вершинами в синих точках?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить размеры двух множеств. Первое множество — это объединение множества семиугольников и множества восьмиугольников, вершины которых находятся в красных точках. Второе множество — это множество восьмиугольников с вершинами в синих точках. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний, так как порядок выбора вершин не имеет значения: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.

в множестве семиугольников и восьмиугольников с вершинами в красных точках

На окружности отмечено 35 красных точек.
Количество способов выбрать 7 вершин для построения семиугольника из 35 красных точек равно числу сочетаний из 35 по 7: $C_{35}^7$.
Количество способов выбрать 8 вершин для построения восьмиугольника из 35 красных точек равно числу сочетаний из 35 по 8: $C_{35}^8$.
Поскольку множества семиугольников и восьмиугольников не пересекаются (у них разное число вершин), общее количество элементов в первом множестве равно сумме их мощностей: $N_1 = C_{35}^7 + C_{35}^8$.

в множестве восьмиугольников с вершинами в синих точках

На окружности отмечено 36 синих точек.
Количество способов выбрать 8 вершин для построения восьмиугольника из 36 синих точек равно числу сочетаний из 36 по 8: $N_2 = C_{36}^8$.

Теперь сравним полученные величины $N_1$ и $N_2$. Для этого воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля:
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$
Применим это тождество для $n=36$ и $k=8$:
$C_{36}^8 = C_{36-1}^{8-1} + C_{36-1}^8 = C_{35}^7 + C_{35}^8$
Таким образом, мы видим, что $N_2 = N_1$. Это означает, что количество элементов в обоих множествах равно.
Ответ: Количество элементов в этих множествах одинаково.