Номер 121, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 78$;

2) $C_{x+2}^3 = 20(x+1)$;

3) $3C_{x+1}^2 - 2A_x^2 = x$.

1) $C_x^2 = 78$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для данного уравнения $n=x, k=2$. Уравнение имеет смысл при $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулу для $C_x^2$:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 78$

Умножим обе части на 2:

$x(x-1) = 156$

$x^2 - x - 156 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 25}{2}$

$x_1 = \frac{1+25}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{1-25}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом. Кроме того, должно выполняться условие $x \ge 2$. Корень $x=13$ удовлетворяет этим условиям. Корень $x=-12$ не является натуральным числом.

Ответ: 13

2) $C_{x+2}^3 = 20(x+1)$

По определению числа сочетаний, уравнение имеет смысл при $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$, и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулу для $C_{x+2}^3$:

$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 20(x+1)$

Так как $x \ge 1$, то $x+1 > 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x+1$:

$\frac{x(x+2)}{6} = 20$

Умножим обе части на 6:

$x(x+2) = 120$

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{2}$

$x_1 = \frac{-2+22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-2-22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом ($x \ge 1$). Этому условию удовлетворяет только корень $x=10$.

Ответ: 10

3) $3C_{x+1}^2 - 2A_x^2 = x$

Уравнение содержит число сочетаний $C_{x+1}^2$ и число размещений $A_x^2$.

Выражение $C_{x+1}^2$ определено при $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.

Выражение $A_x^2$ определено при $x \ge 2$.

Следовательно, общее условие для $x$: $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулы для $C_{x+1}^2$ и $A_x^2$:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x}{2}$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot \frac{(x+1)x}{2} - 2 \cdot x(x-1) = x$

Так как $x \ge 2$, $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$3 \cdot \frac{x+1}{2} - 2(x-1) = 1$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x+1) - 4(x-1) = 2$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 4x + 4 = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 7 = 2$

$-x = 2 - 7$

$-x = -5$

$x=5$

Полученный корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: 5