Номер 117, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. У руководителя предприятия есть в распоряжении 8 автомобилей. Сколько у него есть способов командировать 6 автомобилей в 6 разных городов?

В этой задаче требуется найти количество способов отправить 6 из 8 имеющихся автомобилей в 6 разных городов. Поскольку и автомобили, и города различны, важен порядок распределения. Это означает, что отправка автомобиля А в город 1 и автомобиля Б в город 2 является другим вариантом, нежели отправка автомобиля Б в город 1 и автомобиля А в город 2. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементам обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае у нас есть:

• $n = 8$ — общее количество автомобилей.
• $k = 6$ — количество автомобилей и городов для командировки.

Подставим эти значения в формулу:

$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!}$

Распишем вычисление:

$A_8^6 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$

$A_8^6 = 56 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 336 \times 5 \times 4 \times 3 = 1680 \times 4 \times 3 = 6720 \times 3 = 20160$

Также можно решить задачу, используя правило умножения.

• Для первого города есть 8 вариантов выбора автомобиля.
• После выбора одного автомобиля, для второго города остается 7 вариантов.
• Для третьего города — 6 вариантов.
• Для четвертого — 5 вариантов.
• Для пятого — 4 варианта.
• Для шестого — 3 варианта.

Общее количество способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

Таким образом, существует 20160 способов командировать 6 автомобилей в 6 разных городов.

Ответ: 20160