Номер 111, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 30$;

2) $A_{x+4}^3 = 24(x+3)$;

3) $A_{x+5}^{x+2} = 20 P_{x+2}$.

1) $A_{x+1}^2 = 30$

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.
В данном уравнении $n = x+1$ и $k=2$.

Запишем левую часть уравнения по формуле:
$A_{x+1}^2 = (x+1) \cdot ((x+1)-1) = (x+1)x$.

Получаем уравнение:
$x(x+1) = 30$.

Это квадратное уравнение. Раскроем скобки и приведем его к стандартному виду:
$x^2 + x - 30 = 0$.
Найдем корни, например, по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -30$
Отсюда корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

По условию задачи, решение нужно найти в натуральных числах ($x \in \mathbb{N}$).
Корень $x = -6$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.
Корень $x = 5$ является натуральным числом.
Также необходимо, чтобы выполнялось условие $n \ge k$, то есть $x+1 \ge 2$, откуда $x \ge 1$. Корень $x=5$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=5$.

2) $A_{x+4}^3 = 24(x+3)$

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.
В данном случае $n = x+4$ и $k=3$.

Распишем левую часть уравнения:
$A_{x+4}^3 = (x+4)((x+4)-1)((x+4)-2) = (x+4)(x+3)(x+2)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(x+4)(x+3)(x+2) = 24(x+3)$.

Так как $x$ - натуральное число, $x \ge 1$, то $x+3 > 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $(x+3)$:
$(x+4)(x+2) = 24$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x + 4x + 8 = 24$
$x^2 + 6x + 8 - 24 = 0$
$x^2 + 6x - 16 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = -16$
Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$.

Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, корень $x=-8$ не подходит.
Решением является $x=2$.
Проверим условие $n \ge k$: $x+4 \ge 3$, что означает $x \ge -1$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=2$.

3) $A_{x+5}^{x+2} = 20P_{x+2}$

Используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.

$A_{x+5}^{x+2} = \frac{(x+5)!}{((x+5)-(x+2))!} = \frac{(x+5)!}{3!}$.
$P_{x+2} = (x+2)!$.

Подставим выражения в исходное уравнение:
$\frac{(x+5)!}{3!} = 20 \cdot (x+2)!$.

Учтем, что $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, и распишем $(x+5)!$ как $(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)!$:
$\frac{(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)!}{6} = 20 \cdot (x+2)!$.

Так как $x$ - натуральное число, $x+2 > 0$, и $(x+2)! \ne 0$. Сократим обе части на $(x+2)!$:
$\frac{(x+5)(x+4)(x+3)}{6} = 20$.

Умножим обе части уравнения на 6:
$(x+5)(x+4)(x+3) = 120$.

Мы ищем три последовательных целых числа, произведение которых равно 120. Разложим 120 на множители: $120 = 10 \cdot 12 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 = (2 \cdot 3) \cdot 5 \cdot 4 = 6 \cdot 5 \cdot 4$.
Таким образом, мы имеем произведение трех последовательных чисел: $6 \cdot 5 \cdot 4$.
Сопоставим множители: $x+5 = 6$
$x+4 = 5$
$x+3 = 4$
Из любого из этих равенств получаем $x=1$.

Так как $x=1$ является натуральным числом, это и есть решение. Функция $f(x)=(x+5)(x+4)(x+3)$ является строго возрастающей для $x>0$, поэтому других натуральных решений не существует. Условие $n \ge k$ для размещения $A_{x+5}^{x+2}$ имеет вид $x+5 \ge x+2$, или $5 \ge 2$, что верно при любом $x$.

Ответ: $x=1$.