Номер 104, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Вычислите значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$. Верна ли следующая гипотеза: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ — простое число?

Вычислим значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$

Для каждого значения $n$ подставим его в формулу многочлена:

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 11 = 1 + 1 + 11 = 13$
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 + 2 + 11 = 4 + 2 + 11 = 17$
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 + 3 + 11 = 9 + 3 + 11 = 23$
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 + 4 + 11 = 16 + 4 + 11 = 31$
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 + 5 + 11 = 25 + 5 + 11 = 41$

Ответ: $f(1)=13, f(2)=17, f(3)=23, f(4)=31, f(5)=41$.

Проверим, верна ли гипотеза: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ — простое число?

Чтобы проверить гипотезу, нужно либо доказать ее для всех натуральных $n$, либо опровергнуть, найдя хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение $f(n)$ не является простым (является составным).

Из предыдущего пункта мы видим, что для $n$ от 1 до 5 значения многочлена являются простыми числами. Продолжим вычисления для следующих значений $n$:

• $f(6) = 6^2 + 6 + 11 = 36 + 6 + 11 = 53$ (простое)
• $f(7) = 7^2 + 7 + 11 = 49 + 7 + 11 = 67$ (простое)
• $f(8) = 8^2 + 8 + 11 = 64 + 8 + 11 = 83$ (простое)
• $f(9) = 9^2 + 9 + 11 = 81 + 9 + 11 = 101$ (простое)
• $f(10) = 10^2 + 10 + 11 = 100 + 10 + 11 = 121$

Число 121 является составным, так как оно делится не только на 1 и на себя, но и на 11. Мы можем представить его в виде произведения: $121 = 11 \cdot 11$.

Мы нашли контрпример при $n=10$. Этого достаточно, чтобы опровергнуть гипотезу.

Также можно было заметить, что при $n=11$ многочлен принимает значение:
$f(11) = 11^2 + 11 + 11 = 11 \cdot (11 + 1 + 1) = 11 \cdot 13 = 143$.
Число 143 также является составным.

Поскольку существует как минимум одно натуральное число $n$ (например, $n=10$), для которого значение многочлена $f(n)$ является составным числом, гипотеза неверна.

Ответ: нет, гипотеза неверна.