Номер 105, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6};$

2) $1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1} = \frac{4^n(3n - 1) + 1}{9};$

3) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \frac{n}{3n + 1}.$

1) Докажем равенство $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(4 \cdot 1 + 5)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как $3=3$, равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + \dots + k(2k + 1) = \frac{k(k + 1)(4k + 5)}{6}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + (k+1)(2(k+1)+1)$.
Используя индукционное предположение, получаем:
$S_{k+1} = \frac{k(k + 1)(4k + 5)}{6} + (k+1)(2k+3)$
Вынесем общий множитель $(k+1)$:
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{k(4k+5)}{6} + 2k+3 \right) = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k+6(2k+3)}{6} \right)$
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k+12k+18}{6} \right) = \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $4k^2+17k+18 = (k+2)(4k+9)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Теперь преобразуем правую часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{(k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+5)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+4+5)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1} = \frac{4^n(3n - 1) + 1}{9}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot 4^{1-1} = 1 \cdot 4^0 = 1$.
Правая часть: $\frac{4^1(3 \cdot 1 - 1) + 1}{9} = \frac{4(2) + 1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = 1 + 2 \cdot 4 + \dots + k \cdot 4^{k-1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1}{9}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + (k+1) \cdot 4^k$.
Используя индукционное предположение, получаем:
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1}{9} + (k+1) \cdot 4^k$
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1 + 9(k+1)4^k}{9} = \frac{4^k(3k - 1 + 9(k+1)) + 1}{9}$
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1 + 9k + 9) + 1}{9} = \frac{4^k(12k + 8) + 1}{9}$
$S_{k+1} = \frac{4^k \cdot 4(3k + 2) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 2) + 1}{9}$.
Правая часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{4^{k+1}(3(k+1) - 1) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 3 - 1) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 2) + 1}{9}$.
Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем равенство $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)(3 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.
Правая часть: $\frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}$.
Равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)} = S_k + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Используя индукционное предположение:
$S_{k+1} = \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{k(3k+4) + 1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Разложим на множители числитель: $3k^2 + 4k + 1 = (k+1)(3k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(3k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Правая часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{k+1}{3(k+1)+1} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.