Номер 103, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = f_2(x)$ и $y = f_1(x)$, где $f_2(x) \ge f_1(x)$ на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_a^b (f_2(x)^2 - f_1(x)^2) \,dx$

где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков функций.

1. Найдём пределы интегрирования

Для этого найдём точки пересечения графиков функций $y = x^4$ и $y = x$. Приравняем правые части уравнений:

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x^3 - 1 = 0$, что даёт $x_2 = 1$.

Следовательно, пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 1$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале [0, 1]

Возьмём любую точку из интервала $(0, 1)$, например, $x = 0.5$.

Для $y = x$: $y(0.5) = 0.5$

Для $y = x^4$: $y(0.5) = (0.5)^4 = 0.0625$

Поскольку $0.5 > 0.0625$, на интервале $(0, 1)$ график функции $y=x$ расположен выше графика $y=x^4$. Значит, $f_2(x) = x$ и $f_1(x) = x^4$.

3. Вычислим объём тела вращения

Подставим наши функции и пределы интегрирования в формулу объёма:

$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^4)^2) \,dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^8) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \pi \left( \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^9}{9} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^9}{9} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \right) - 0 \right) = \pi \left( \frac{3}{9} - \frac{1}{9} \right) = \pi \cdot \frac{2}{9} = \frac{2\pi}{9}$

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$