Номер 107, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство:

1) $5^n > 4n + 1;$

2) $3^n > 8n - 6?$

1) $5^n > 4n + 1$

Данное неравенство нужно решить для натуральных значений $n$, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Для решения воспользуемся методом математической индукции.

Сначала проверим неравенство для нескольких первых натуральных чисел:
- при $n=1$: $5^1 > 4(1) + 1 \Rightarrow 5 > 5$. Это неверно.
- при $n=2$: $5^2 > 4(2) + 1 \Rightarrow 25 > 9$. Это верно.
- при $n=3$: $5^3 > 4(3) + 1 \Rightarrow 125 > 13$. Это верно.

Можно предположить, что неравенство выполняется для всех $n \geq 2$. Докажем это.

База индукции:
Для $n=2$ неравенство верно, как мы уже показали ($25 > 9$).

Индукционное предположение:
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \geq 2$, то есть $5^k > 4k + 1$.

Индукционный переход:
Докажем, что из выполнения неравенства для $k$ следует его выполнение для $k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $5^{k+1} > 4(k+1) + 1$.
Умножим обе части неравенства $5^k > 4k + 1$ на 5:
$5 \cdot 5^k > 5 \cdot (4k + 1)$
$5^{k+1} > 20k + 5$.
Теперь сравним полученное выражение $20k + 5$ с правой частью доказываемого неравенства $4(k+1) + 1 = 4k + 5$.
Так как $k \geq 2$, то $20k > 4k$. Следовательно, $20k + 5 > 4k + 5$.
Мы получили цепочку неравенств: $5^{k+1} > 20k + 5 > 4k + 5$.
Таким образом, $5^{k+1} > 4(k+1) + 1$, что и требовалось доказать.

По принципу математической индукции, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n \geq 2$.

Ответ: $n \ge 2$ ($n \in \{2, 3, 4, ...\}$).

2) $3^n > 8n - 6$

Решим это неравенство для натуральных $n$. Проверим первые несколько значений:
- при $n=1$: $3^1 > 8(1) - 6 \Rightarrow 3 > 2$. Это верно.
- при $n=2$: $3^2 > 8(2) - 6 \Rightarrow 9 > 10$. Это неверно.
- при $n=3$: $3^3 > 8(3) - 6 \Rightarrow 27 > 18$. Это верно.
- при $n=4$: $3^4 > 8(4) - 6 \Rightarrow 81 > 26$. Это верно.

Видим, что неравенство выполняется при $n=1$ и, по-видимому, при всех $n \geq 3$. Докажем утверждение для $n \geq 3$ методом математической индукции.

База индукции:
Для $n=3$ неравенство верно: $27 > 18$.

Индукционное предположение:
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \geq 3$, то есть $3^k > 8k - 6$.

Индукционный переход:
Докажем, что неравенство верно для $k+1$, то есть $3^{k+1} > 8(k+1) - 6$.
Умножим обе части неравенства $3^k > 8k - 6$ на 3:
$3 \cdot 3^k > 3 \cdot (8k - 6)$
$3^{k+1} > 24k - 18$.
Теперь сравним $24k - 18$ с правой частью искомого неравенства $8(k+1) - 6 = 8k + 2$.
Нам нужно показать, что $24k - 18 > 8k + 2$.
$24k - 8k > 18 + 2$
$16k > 20$.
$k > \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Так как мы рассматриваем $k \geq 3$, это условие выполняется.
Следовательно, $24k - 18 > 8k + 2$ для всех $k \geq 3$.
Получаем цепочку неравенств: $3^{k+1} > 24k - 18 > 8k + 2$.
Таким образом, $3^{k+1} > 8(k+1) - 6$, что и требовалось доказать.

По принципу математической индукции, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n \geq 3$. Учитывая результат проверки для $n=1$, получаем окончательное решение.

Ответ: $n=1$ и все натуральные $n \ge 3$ ($n \in \{1, 3, 4, 5, ...\}$).