Номер 108, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения:

1) $11^n + 23 \cdot 3^n$ кратно 8;

2) $4^n + 15n - 1$ кратно 9.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся методом математической индукции.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$11^1 + 23 \cdot 3^1 = 11 + 69 = 80$.
Число 80 делится на 8 без остатка ($80 = 8 \cdot 10$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $11^k + 23 \cdot 3^k$ кратно 8. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $11^k + 23 \cdot 3^k = 8m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n = k+1$, то есть, что $11^{k+1} + 23 \cdot 3^{k+1}$ кратно 8.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$11^{k+1} + 23 \cdot 3^{k+1} = 11 \cdot 11^k + 23 \cdot 3 \cdot 3^k = 11 \cdot 11^k + 69 \cdot 3^k$.
Преобразуем выражение, чтобы использовать предположение индукции:$11 \cdot 11^k + 69 \cdot 3^k = 11 \cdot (11^k + 23 \cdot 3^k) - 11 \cdot 23 \cdot 3^k + 69 \cdot 3^k$
$= 11 \cdot (11^k + 23 \cdot 3^k) - 253 \cdot 3^k + 69 \cdot 3^k$
$= 11 \cdot (11^k + 23 \cdot 3^k) - (253 - 69) \cdot 3^k$
$= 11 \cdot (11^k + 23 \cdot 3^k) - 184 \cdot 3^k$.
Первое слагаемое, $11 \cdot (11^k + 23 \cdot 3^k)$, делится на 8, так как по предположению индукции $(11^k + 23 \cdot 3^k)$ делится на 8.
Второе слагаемое, $184 \cdot 3^k$, также делится на 8, так как $184 = 8 \cdot 23$.
Поскольку оба слагаемых делятся на 8, их разность также делится на 8. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, утверждение $11^n + 23 \cdot 3^n$ кратно 8 верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.
Число 18 делится на 9 без остатка ($18 = 9 \cdot 2$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть $4^k + 15k - 1$ кратно 9. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $4^k + 15k - 1 = 9m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n = k+1$, то есть, что $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ кратно 9.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.
Преобразуем выражение, чтобы использовать предположение индукции:$4 \cdot 4^k + 15k + 14 = 4 \cdot (4^k + 15k - 1) - 4 \cdot 15k + 4 \cdot 1 + 15k + 14$
$= 4 \cdot (4^k + 15k - 1) - 60k + 4 + 15k + 14$
$= 4 \cdot (4^k + 15k - 1) - 45k + 18$
$= 4 \cdot (4^k + 15k - 1) - 9 \cdot 5k + 9 \cdot 2$
$= 4 \cdot (4^k + 15k - 1) - 9(5k - 2)$.
Первое слагаемое, $4 \cdot (4^k + 15k - 1)$, делится на 9, так как по предположению индукции $(4^k + 15k - 1)$ делится на 9.
Второе слагаемое, $9(5k - 2)$, очевидно делится на 9.
Поскольку оба слагаемых делятся на 9, их разность также делится на 9. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, утверждение $4^n + 15n - 1$ кратно 9 верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.