Номер 106, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Докажите неравенство $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n+1} > \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$,
где $n \in N$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом сравнения. Обозначим левую часть неравенства через $P_n$:

$P_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{2n}{2n+1}$

Требуется доказать, что $P_n > \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Поскольку обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится:

$P_n^2 > \left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)^2$

$P_n^2 > \frac{1}{2n+1}$

Распишем $P_n^2$ как произведение квадратов:

$P_n^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot \ldots \cdot \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^2$

Рассмотрим общий член этого произведения $\left(\frac{2k}{2k+1}\right)^2$, где $k$ — натуральное число от 1 до $n$. Докажем вспомогательное неравенство:

$\left(\frac{2k}{2k+1}\right)^2 > \frac{2k-1}{2k+1}$

Для доказательства этого неравенства преобразуем его. Умножим обе части на $(2k+1)^2 > 0$:

$(2k)^2 > (2k-1)(2k+1)$

Раскроем скобки:

$4k^2 > 4k^2 - 1$

Перенеся $4k^2$ в левую часть, получим:

$0 > -1$

Это неравенство верно. Следовательно, вспомогательное неравенство $\left(\frac{2k}{2k+1}\right)^2 > \frac{2k-1}{2k+1}$ также верно для всех $k \in \mathbb{N}$.

Теперь, используя это вспомогательное неравенство для каждого множителя в $P_n^2$, мы можем оценить $P_n^2$ снизу:

$P_n^2 = \prod_{k=1}^{n} \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^2 > \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k+1}$

Распишем произведение в правой части:

$\prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n+1}$

Это произведение является телескопическим, так как числитель каждой дроби (кроме первой) сокращается со знаменателем предыдущей. В результате сокращений остается только числитель первой дроби и знаменатель последней:

$\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{7}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{2n-1}}{2n+1} = \frac{1}{2n+1}$

Таким образом, мы доказали, что:

$P_n^2 > \frac{1}{2n+1}$

Так как $P_n$ — произведение положительных чисел, то $P_n > 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, получаем:

$P_n > \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.