Номер 100, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 4 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 8]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(4) - F(-3)$, где функция $F$ — одна из первообразных функции $f$.

Рис. 4

Значение выражения $F(4) - F(-3)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$, согласно формуле Ньютона-Лейбница, равно определённому интегралу функции $f(x)$ на отрезке $[-3, 4]$.

$F(4) - F(-3) = \int_{-3}^{4} f(x) \,dx$

Геометрически определённый интеграл представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x = -3$ и $x = 4$. Поскольку на данном промежутке график функции неотрицателен, значение интеграла равно площади этой фигуры.

Для вычисления площади разобьем фигуру под графиком на отрезке $[-3, 4]$ на три более простые части: трапецию на отрезке $[-3, -1]$, прямоугольник на отрезке $[-1, 1]$ и ещё одну трапецию на отрезке $[1, 4]$.

1. Площадь первой трапеции ($S_1$) на отрезке $[-3, -1]$. Её основаниями служат значения функции $f(-3)$ и $f(-1)$, а высотой — длина отрезка, равная $-1 - (-3) = 2$. Из графика видно, что $f(-1) = 6$. Чтобы найти $f(-3)$, определим уравнение прямой, проходящей через точки $(-4, 0)$ и $(-1, 6)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{6-0}{-1-(-4)} = \frac{6}{3} = 2$. Уравнение прямой имеет вид $y = 2x+b$. Подставив точку $(-4, 0)$, получим $0 = 2(-4) + b$, откуда $b=8$. Итак, $f(x) = 2x+8$ на этом участке. Тогда $f(-3) = 2(-3)+8 = 2$. Площадь первой трапеции: $S_1 = \frac{f(-3) + f(-1)}{2} \cdot (-1 - (-3)) = \frac{2+6}{2} \cdot 2 = 8$.

2. Площадь прямоугольника ($S_2$) на отрезке $[-1, 1]$. На этом отрезке функция постоянна и равна 6. Ширина прямоугольника равна $1 - (-1) = 2$, а высота равна 6. Площадь прямоугольника: $S_2 = 2 \cdot 6 = 12$.

3. Площадь второй трапеции ($S_3$) на отрезке $[1, 4]$. Её основаниями служат значения $f(1)$ и $f(4)$, а высотой — длина отрезка, равная $4 - 1 = 3$. Из графика $f(1)=6$. Чтобы найти $f(4)$, определим уравнение прямой, проходящей через точки $(1, 6)$ и $(8, 0)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{0-6}{8-1} = -\frac{6}{7}$. Уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{6}{7}x + b$. Подставив точку $(8, 0)$, получим $0 = -\frac{6}{7}(8) + b$, откуда $b=\frac{48}{7}$. Итак, $f(x) = -\frac{6}{7}x + \frac{48}{7}$ на этом участке. Тогда $f(4) = -\frac{6}{7}(4) + \frac{48}{7} = \frac{-24+48}{7} = \frac{24}{7}$. Площадь второй трапеции: $S_3 = \frac{f(1) + f(4)}{2} \cdot (4 - 1) = \frac{6 + \frac{24}{7}}{2} \cdot 3 = \frac{\frac{42+24}{7}}{2} \cdot 3 = \frac{66/7}{2} \cdot 3 = \frac{33}{7} \cdot 3 = \frac{99}{7}$.

Искомое значение равно общей площади, которая является суммой площадей этих трех фигур: $S = S_1 + S_2 + S_3 = 8 + 12 + \frac{99}{7} = 20 + \frac{99}{7} = \frac{140}{7} + \frac{99}{7} = \frac{239}{7}$.

Ответ: $\frac{239}{7}$