Номер 97, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a - 2$, $x = a$, будет принимать наименьшее значение.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x = a - 2$ и $x = a$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как функция $y = 6x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$, площадь $S$ как функция от $a$ равна:

$S(a) = \int_{a-2}^{a} 6x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S(a) = \left. 6 \frac{x^3}{3} \right|_{a-2}^{a} = \left. 2x^3 \right|_{a-2}^{a} = 2a^3 - 2(a-2)^3$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение для площади $S(a)$:

$(a-2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

$S(a) = 2a^3 - 2(a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = 2a^3 - 2a^3 + 12a^2 - 24a + 16$

$S(a) = 12a^2 - 24a + 16$

Мы получили функцию площади $S(a)$, которая является квадратичной функцией от $a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ (равный 12) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем координату вершины параболы $a_0$ по формуле $a_0 = -\frac{b}{2k}$, где $k=12$ и $b=-24$:

$a_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$

Таким образом, площадь фигуры будет принимать наименьшее значение при $a=1$.

В качестве альтернативы, можно найти минимум функции $S(a)$, исследовав ее с помощью производной. Найдем производную $S'(a)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$S'(a) = (12a^2 - 24a + 16)' = 24a - 24$

$S'(a) = 0 \Rightarrow 24a - 24 = 0 \Rightarrow 24a = 24 \Rightarrow a = 1$

Так как вторая производная $S''(a) = 24 > 0$, то точка $a=1$ является точкой минимума.

Ответ: $a=1$