Номер 98, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = \frac{12}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 3, x = 6$, на две равновеликие фигуры?

Фигура, о которой идет речь, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \frac{12}{x}$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямыми $x = 3$ и $x = 6$. Прямая $x = a$ должна разделить эту фигуру на две равновеликие части, то есть на две части с равными площадями. Это означает, что значение $a$ должно находиться в интервале $(3, 6)$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Условие равенства площадей двух частей можно записать в виде равенства интегралов:$$ \int_{3}^{a} \frac{12}{x} dx = \int_{a}^{6} \frac{12}{x} dx $$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{12}{x}$:$$ F(x) = \int \frac{12}{x} dx = 12 \ln|x| $$Теперь, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим определенные интегралы. Так как на отрезке $[3, 6]$ значение $x$ положительно, $|x| = x$.$$ \left. 12 \ln(x) \right|_{3}^{a} = \left. 12 \ln(x) \right|_{a}^{6} $$$$ 12 \ln(a) - 12 \ln(3) = 12 \ln(6) - 12 \ln(a) $$

Решим полученное уравнение. Разделим обе части на 12:$$ \ln(a) - \ln(3) = \ln(6) - \ln(a) $$Соберем слагаемые, содержащие $\ln(a)$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:$$ 2\ln(a) = \ln(6) + \ln(3) $$Используя свойства логарифмов ($n \ln b = \ln(b^n)$ и $\ln b + \ln c = \ln(bc)$), получим:$$ \ln(a^2) = \ln(6 \cdot 3) $$$$ \ln(a^2) = \ln(18) $$Так как логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:$$ a^2 = 18 $$$$ a = \pm\sqrt{18} = \pm\sqrt{9 \cdot 2} = \pm3\sqrt{2} $$

Согласно условию, прямая $x = a$ должна находиться между прямыми $x = 3$ и $x = 6$, то есть $3 < a < 6$. Проверим найденные корни:

1. $a_1 = 3\sqrt{2}$. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ a_1 \approx 3 \cdot 1.414 = 4.242 $. Значение $4.242$ находится в интервале $(3, 6)$. Этот корень удовлетворяет условию.

2. $a_2 = -3\sqrt{2}$. Этот корень является отрицательным числом и не принадлежит интервалу $(3, 6)$.

Следовательно, единственное подходящее значение $a$ — это $3\sqrt{2}$.

Ответ: $a = 3\sqrt{2}$