Номер 94, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y=\sqrt{x+1}$ и $y=\sqrt{7-x}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y=\begin{cases} 2\cos x \text{ при } -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant 0, \\ 2-x \text{ при } 0 < x \leqslant 2 \end{cases}$ и осью абсцисс.

1)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sqrt{x+1}$, $y = \sqrt{7-x}$ и осью абсцисс ($y=0$). Для нахождения площади этой фигуры необходимо определить пределы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения графиков с осью абсцисс.

Для функции $y = \sqrt{x+1}$: $\sqrt{x+1} = 0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Для функции $y = \sqrt{7-x}$: $\sqrt{7-x} = 0 \Rightarrow 7-x=0 \Rightarrow x=7$.

Таким образом, фигура расположена на отрезке $[-1, 7]$ по оси $x$.

Теперь найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x+1}$ и $y = \sqrt{7-x}$ между собой, чтобы понять, как они ограничивают фигуру сверху. $\sqrt{x+1} = \sqrt{7-x}$

Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 7-x$ $2x = 6$ $x=3$

Точка пересечения $x=3$ делит фигуру на две части. На отрезке $[-1, 3]$ фигура ограничена сверху графиком функции $y = \sqrt{x+1}$. На отрезке $[3, 7]$ фигура ограничена сверху графиком функции $y = \sqrt{7-x}$.

Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций, используя определенный интеграл: $S = S_1 + S_2 = \int_{-1}^{3} \sqrt{x+1} \,dx + \int_{3}^{7} \sqrt{7-x} \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{-1}^{3} (x+1)^{1/2} \,dx = \left[ \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} \right]_{-1}^{3} = \frac{2}{3} \left[ (x+1)^{3/2} \right]_{-1}^{3}$ $S_1 = \frac{2}{3} \left( (3+1)^{3/2} - (-1+1)^{3/2} \right) = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{3}^{7} \sqrt{7-x} \,dx = \left[ -\frac{(7-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{3}^{7} = -\frac{2}{3} \left[ (7-x)^{3/2} \right]_{3}^{7}$ $S_2 = -\frac{2}{3} \left( (7-7)^{3/2} - (7-3)^{3/2} \right) = -\frac{2}{3} (0^{3/2} - 4^{3/2}) = -\frac{2}{3} (0 - 8) = \frac{16}{3}$

Общая площадь фигуры: $S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

2)

Фигура ограничена графиком кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} 2\cos x & \text{при } -\frac{\pi}{2} \le x \le 0 \\ 2-x & \text{при } 0 < x \le 2 \end{cases}$ и осью абсцисс.

Проверим, что на всем промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $2$ функция неотрицательна ($y \ge 0$). На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, 0]$, косинус принимает значения от $0$ до $1$, следовательно $2\cos x \ge 0$. На интервале $(0, 2]$, функция $y=2-x$ убывает от $2$ до $0$, следовательно $2-x \ge 0$. Таким образом, график функции лежит не ниже оси абсцисс.

Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей, соответствующих двум участкам функции: $S = \int_{-\pi/2}^{0} 2\cos x \,dx + \int_{0}^{2} (2-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $\int_{-\pi/2}^{0} 2\cos x \,dx = 2[\sin x]_{-\pi/2}^{0} = 2(\sin 0 - \sin(-\frac{\pi}{2})) = 2(0 - (-1)) = 2 \cdot 1 = 2$

Вычислим второй интеграл: $\int_{0}^{2} (2-x) \,dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left(2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = (4 - 2) - 0 = 2$ (Геометрически эта часть фигуры представляет собой прямоугольный треугольник с катетами, равными 2, его площадь $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$).

Общая площадь фигуры: $S = 2 + 2 = 4$

Ответ: $S=4$.