Номер 96, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x$ и $y = |x^2 - 2x|$, необходимо выполнить следующие шаги: найти точки пересечения графиков, а затем вычислить определенный интеграл (или сумму интегралов) разности функций на соответствующих промежутках.

1. Анализ функции с модулем и нахождение точек пересечения

Раскроем модуль в функции $y = |x^2 - 2x|$. Выражение под модулем $x^2 - 2x = x(x-2)$ равно нулю при $x=0$ и $x=2$. Оно неотрицательно при $x \le 0$ или $x \ge 2$, и отрицательно при $0 < x < 2$.

Таким образом, функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases}x^2 - 2x, & \text{если } x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty) \\-(x^2 - 2x) = 2x - x^2, & \text{если } x \in (0, 2)\end{cases}$

Теперь найдем точки пересечения графика этой функции с графиком $y = x$. Для этого решим уравнение $x = |x^2 - 2x|$.

Случай 1: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$.

Уравнение принимает вид $x = x^2 - 2x$.

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$, следовательно, являются точками пересечения.

Случай 2: $x \in (0, 2)$.

Уравнение принимает вид $x = 2x - x^2$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Корни: $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$. Корень $x=0$ не входит в интервал $(0, 2)$. Корень $x=1$ принадлежит этому интервалу, следовательно, является точкой пересечения.

Итак, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами $x=0$, $x=1$ и $x=3$. Эти точки разбивают искомую площадь на две части, которые нужно вычислить отдельно и сложить.

2. Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры $S$ находится как сумма площадей $S_1$ на отрезке $[0, 1]$ и $S_2$ на отрезке $[1, 3]$.

$S = \int_0^3 |x - |x^2 - 2x|| dx = \int_0^1 |x - (2x - x^2)| dx + \int_1^2 |x - (2x - x^2)| dx + \int_2^3 |x - (x^2 - 2x)| dx$

Площадь на отрезке [0, 1] ($S_1$):

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = 2x - x^2$. Сравним значения функций, например, в точке $x=0.5$: $y=x=0.5$, а $y=2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$. Значит, на отрезке $[0, 1]$ график $y = 2x - x^2$ лежит выше графика $y=x$.

$S_1 = \int_0^1 ((2x - x^2) - x) dx = \int_0^1 (x - x^2) dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^1 = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

Площадь на отрезке [1, 3]:

Этот отрезок необходимо разбить на два в точке $x=2$, так как в этой точке меняется определение функции с модулем.

Участок [1, 2]:

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = 2x - x^2$. Сравним значения функций, например, в точке $x=1.5$: $y=x=1.5$, а $y=2(1.5) - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$. Значит, на отрезке $[1, 2]$ график $y=x$ лежит выше графика $y = 2x - x^2$.

$S_{2a} = \int_1^2 (x - (2x - x^2)) dx = \int_1^2 (x^2 - x) dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_1^2 = \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}\right) = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Участок [2, 3]:

На этом интервале $y = |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$. Сравним значения функций, например, в точке $x=2.5$: $y=x=2.5$, а $y=(2.5)^2 - 2(2.5) = 6.25 - 5 = 1.25$. Значит, на отрезке $[2, 3]$ график $y=x$ лежит выше графика $y = x^2 - 2x$.

$S_{2b} = \int_2^3 (x - (x^2 - 2x)) dx = \int_2^3 (3x - x^2) dx = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_2^3 = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3}\right) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - \left(6 - \frac{8}{3}\right) = \frac{9}{2} - \frac{10}{3} = \frac{27-20}{6} = \frac{7}{6}$

Общая площадь:

Суммируем площади всех участков:

$S = S_1 + S_{2a} + S_{2b} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1+5+7}{6} = \frac{13}{6}$

Ответ: $\frac{13}{6}$