Номер 101, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Используя геометрический смысл интеграла, вычисли- лите:

1) $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2} dx;$

2) $\int_{3}^{6}\sqrt{6x-x^2} dx;$

3) $\int_{-9}^{-4}\sqrt{9-8x-x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = f(x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x=a, x=b $. В данном случае подынтегральная функция $ y = \sqrt{4 - x^2} $. Возведем обе части уравнения в квадрат: $ y^2 = 4 - x^2 $, что эквивалентно $ x^2 + y^2 = 4 $. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $ R = 2 $. Поскольку по определению арифметического корня $ y = \sqrt{4 - x^2} \ge 0 $, мы рассматриваем только верхнюю половину окружности (полуокружность). Пределы интегрирования от -2 до 2 соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси $ Ox $. Таким образом, искомый интеграл равен площади верхней полуокружности радиуса 2. Площадь круга вычисляется по формуле $ S_{круга} = \pi R^2 $, следовательно, площадь полуокружности равна $ S = \frac{1}{2}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{2} \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi $.

Ответ: $ 2\pi $

2) Рассмотрим подынтегральную функцию $ y = \sqrt{6x - x^2} $. При условии $ y \ge 0 $, возведем обе части в квадрат: $ y^2 = 6x - x^2 $. Преобразуем уравнение, чтобы определить геометрическую фигуру. Перенесем все члены с $x$ в левую часть: $ x^2 - 6x + y^2 = 0 $. Дополним выражение $ x^2 - 6x $ до полного квадрата: $ (x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0 $, что преобразуется в $ (x - 3)^2 + y^2 = 9 $. Это уравнение окружности с центром в точке (3, 0) и радиусом $ R = \sqrt{9} = 3 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования — от 3 до 6. Центр окружности находится в точке $ x = 3 $, а ее правая крайняя точка — $ x = 3+R = 3+3=6 $. Таким образом, интегрирование производится по правой половине верхней полуокружности, что составляет четверть площади всей окружности. Площадь четверти круга равна $ S = \frac{1}{4}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{4} $

3) Рассмотрим подынтегральную функцию $ y = \sqrt{9 - 8x - x^2} $. При условии $ y \ge 0 $, возведем обе части в квадрат: $ y^2 = 9 - 8x - x^2 $. Преобразуем уравнение: $ x^2 + 8x + y^2 = 9 $. Дополним выражение $ x^2 + 8x $ до полного квадрата: $ (x^2 + 8x + 16) - 16 + y^2 = 9 $, что преобразуется в $ (x + 4)^2 + y^2 = 25 $. Это уравнение окружности с центром в точке (-4, 0) и радиусом $ R = \sqrt{25} = 5 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования — от -9 до -4. Центр окружности находится в точке $ x = -4 $, а ее левая крайняя точка — $ x = -4-R = -4-5=-9 $. Таким образом, интегрирование производится по левой половине верхней полуокружности, что составляет четверть площади всей окружности. Площадь четверти круга равна $ S = \frac{1}{4}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{4} \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{25\pi}{4} $