Страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Используя геометрический смысл интеграла, вычисли- лите:

1) $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2} dx;$

2) $\int_{3}^{6}\sqrt{6x-x^2} dx;$

3) $\int_{-9}^{-4}\sqrt{9-8x-x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx $ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y = f(x) $, осью абсцисс $ Ox $ и прямыми $ x=a, x=b $. В данном случае подынтегральная функция $ y = \sqrt{4 - x^2} $. Возведем обе части уравнения в квадрат: $ y^2 = 4 - x^2 $, что эквивалентно $ x^2 + y^2 = 4 $. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $ R = 2 $. Поскольку по определению арифметического корня $ y = \sqrt{4 - x^2} \ge 0 $, мы рассматриваем только верхнюю половину окружности (полуокружность). Пределы интегрирования от -2 до 2 соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси $ Ox $. Таким образом, искомый интеграл равен площади верхней полуокружности радиуса 2. Площадь круга вычисляется по формуле $ S_{круга} = \pi R^2 $, следовательно, площадь полуокружности равна $ S = \frac{1}{2}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{2} \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi $.

Ответ: $ 2\pi $

2) Рассмотрим подынтегральную функцию $ y = \sqrt{6x - x^2} $. При условии $ y \ge 0 $, возведем обе части в квадрат: $ y^2 = 6x - x^2 $. Преобразуем уравнение, чтобы определить геометрическую фигуру. Перенесем все члены с $x$ в левую часть: $ x^2 - 6x + y^2 = 0 $. Дополним выражение $ x^2 - 6x $ до полного квадрата: $ (x^2 - 6x + 9) - 9 + y^2 = 0 $, что преобразуется в $ (x - 3)^2 + y^2 = 9 $. Это уравнение окружности с центром в точке (3, 0) и радиусом $ R = \sqrt{9} = 3 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования — от 3 до 6. Центр окружности находится в точке $ x = 3 $, а ее правая крайняя точка — $ x = 3+R = 3+3=6 $. Таким образом, интегрирование производится по правой половине верхней полуокружности, что составляет четверть площади всей окружности. Площадь четверти круга равна $ S = \frac{1}{4}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{4} $

3) Рассмотрим подынтегральную функцию $ y = \sqrt{9 - 8x - x^2} $. При условии $ y \ge 0 $, возведем обе части в квадрат: $ y^2 = 9 - 8x - x^2 $. Преобразуем уравнение: $ x^2 + 8x + y^2 = 9 $. Дополним выражение $ x^2 + 8x $ до полного квадрата: $ (x^2 + 8x + 16) - 16 + y^2 = 9 $, что преобразуется в $ (x + 4)^2 + y^2 = 25 $. Это уравнение окружности с центром в точке (-4, 0) и радиусом $ R = \sqrt{25} = 5 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования — от -9 до -4. Центр окружности находится в точке $ x = -4 $, а ее левая крайняя точка — $ x = -4-R = -4-5=-9 $. Таким образом, интегрирование производится по левой половине верхней полуокружности, что составляет четверть площади всей окружности. Площадь четверти круга равна $ S = \frac{1}{4}\pi R^2 $.

Вычисляем площадь: $ S = \frac{1}{4} \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{25\pi}{4} $

102. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 4$ и $y = 0$;

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$ и $y = 0$;

3) графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$ и $y = 0$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (оси Ox) фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и прямыми $x = a$, $x = b$ и $y = 0$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 4$ и $y = 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ пересекает ось $y = 0$ в точке $x = 0$. Таким образом, пределы интегрирования будут от $a = 0$ до $b = 4$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Ответ: $8\pi$.

2) Фигура ограничена синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования заданы: от $a = \frac{\pi}{4}$ до $b = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2 x dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (1 - \cos(2x)) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\pi/4}^{3\pi/4} = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}(-1)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(1)\right) \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2\pi}{4} + 1 \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$.

3) Фигура ограничена графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования заданы: от $a = 0$ до $b = 2$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 + 1)^2 dx$

Раскрываем скобки в подынтегральном выражении:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right)$

Приводим к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 15}{15} \right) = \pi \left( \frac{96 + 80 + 30}{15} \right) = \pi \left( \frac{206}{15} \right) = \frac{206\pi}{15}$

Ответ: $\frac{206\pi}{15}$.

103. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = f_2(x)$ и $y = f_1(x)$, где $f_2(x) \ge f_1(x)$ на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_a^b (f_2(x)^2 - f_1(x)^2) \,dx$

где $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков функций.

1. Найдём пределы интегрирования

Для этого найдём точки пересечения графиков функций $y = x^4$ и $y = x$. Приравняем правые части уравнений:

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x^3 - 1 = 0$, что даёт $x_2 = 1$.

Следовательно, пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 1$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале [0, 1]

Возьмём любую точку из интервала $(0, 1)$, например, $x = 0.5$.

Для $y = x$: $y(0.5) = 0.5$

Для $y = x^4$: $y(0.5) = (0.5)^4 = 0.0625$

Поскольку $0.5 > 0.0625$, на интервале $(0, 1)$ график функции $y=x$ расположен выше графика $y=x^4$. Значит, $f_2(x) = x$ и $f_1(x) = x^4$.

3. Вычислим объём тела вращения

Подставим наши функции и пределы интегрирования в формулу объёма:

$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^4)^2) \,dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^8) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \pi \left( \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^9}{9} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^9}{9} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \right) - 0 \right) = \pi \left( \frac{3}{9} - \frac{1}{9} \right) = \pi \cdot \frac{2}{9} = \frac{2\pi}{9}$

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$

104. Вычислите значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$. Верна ли следующая гипотеза: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ — простое число?

Вычислим значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$

Для каждого значения $n$ подставим его в формулу многочлена:

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 11 = 1 + 1 + 11 = 13$
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 + 2 + 11 = 4 + 2 + 11 = 17$
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 + 3 + 11 = 9 + 3 + 11 = 23$
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 + 4 + 11 = 16 + 4 + 11 = 31$
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 + 5 + 11 = 25 + 5 + 11 = 41$

Ответ: $f(1)=13, f(2)=17, f(3)=23, f(4)=31, f(5)=41$.

Проверим, верна ли гипотеза: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 + n + 11$ — простое число?

Чтобы проверить гипотезу, нужно либо доказать ее для всех натуральных $n$, либо опровергнуть, найдя хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение $f(n)$ не является простым (является составным).

Из предыдущего пункта мы видим, что для $n$ от 1 до 5 значения многочлена являются простыми числами. Продолжим вычисления для следующих значений $n$:

• $f(6) = 6^2 + 6 + 11 = 36 + 6 + 11 = 53$ (простое)
• $f(7) = 7^2 + 7 + 11 = 49 + 7 + 11 = 67$ (простое)
• $f(8) = 8^2 + 8 + 11 = 64 + 8 + 11 = 83$ (простое)
• $f(9) = 9^2 + 9 + 11 = 81 + 9 + 11 = 101$ (простое)
• $f(10) = 10^2 + 10 + 11 = 100 + 10 + 11 = 121$

Число 121 является составным, так как оно делится не только на 1 и на себя, но и на 11. Мы можем представить его в виде произведения: $121 = 11 \cdot 11$.

Мы нашли контрпример при $n=10$. Этого достаточно, чтобы опровергнуть гипотезу.

Также можно было заметить, что при $n=11$ многочлен принимает значение:
$f(11) = 11^2 + 11 + 11 = 11 \cdot (11 + 1 + 1) = 11 \cdot 13 = 143$.
Число 143 также является составным.

Поскольку существует как минимум одно натуральное число $n$ (например, $n=10$), для которого значение многочлена $f(n)$ является составным числом, гипотеза неверна.

Ответ: нет, гипотеза неверна.

105. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6};$

2) $1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1} = \frac{4^n(3n - 1) + 1}{9};$

3) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \frac{n}{3n + 1}.$

1) Докажем равенство $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(4 \cdot 1 + 5)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как $3=3$, равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + \dots + k(2k + 1) = \frac{k(k + 1)(4k + 5)}{6}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + (k+1)(2(k+1)+1)$.
Используя индукционное предположение, получаем:
$S_{k+1} = \frac{k(k + 1)(4k + 5)}{6} + (k+1)(2k+3)$
Вынесем общий множитель $(k+1)$:
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{k(4k+5)}{6} + 2k+3 \right) = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k+6(2k+3)}{6} \right)$
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k+12k+18}{6} \right) = \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $4k^2+17k+18 = (k+2)(4k+9)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Теперь преобразуем правую часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{(k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+5)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+4+5)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1} = \frac{4^n(3n - 1) + 1}{9}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot 4^{1-1} = 1 \cdot 4^0 = 1$.
Правая часть: $\frac{4^1(3 \cdot 1 - 1) + 1}{9} = \frac{4(2) + 1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = 1 + 2 \cdot 4 + \dots + k \cdot 4^{k-1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1}{9}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + (k+1) \cdot 4^k$.
Используя индукционное предположение, получаем:
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1}{9} + (k+1) \cdot 4^k$
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1) + 1 + 9(k+1)4^k}{9} = \frac{4^k(3k - 1 + 9(k+1)) + 1}{9}$
$S_{k+1} = \frac{4^k(3k - 1 + 9k + 9) + 1}{9} = \frac{4^k(12k + 8) + 1}{9}$
$S_{k+1} = \frac{4^k \cdot 4(3k + 2) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 2) + 1}{9}$.
Правая часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{4^{k+1}(3(k+1) - 1) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 3 - 1) + 1}{9} = \frac{4^{k+1}(3k + 2) + 1}{9}$.
Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем равенство $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)(3 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.
Правая часть: $\frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}$.
Равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$ :
$S_k = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$.

Индукционный переход. Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Сумма для $n=k+1$ равна $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)} = S_k + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Используя индукционное предположение:
$S_{k+1} = \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$
Приведем к общему знаменателю:
$S_{k+1} = \frac{k(3k+4) + 1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Разложим на множители числитель: $3k^2 + 4k + 1 = (k+1)(3k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(3k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Правая часть исходной формулы для $n=k+1$ :
$\frac{k+1}{3(k+1)+1} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано.