Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = \frac{12}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 3, x = 6$, на две равновеликие фигуры?

Фигура, о которой идет речь, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \frac{12}{x}$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямыми $x = 3$ и $x = 6$. Прямая $x = a$ должна разделить эту фигуру на две равновеликие части, то есть на две части с равными площадями. Это означает, что значение $a$ должно находиться в интервале $(3, 6)$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Условие равенства площадей двух частей можно записать в виде равенства интегралов:$$ \int_{3}^{a} \frac{12}{x} dx = \int_{a}^{6} \frac{12}{x} dx $$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{12}{x}$:$$ F(x) = \int \frac{12}{x} dx = 12 \ln|x| $$Теперь, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим определенные интегралы. Так как на отрезке $[3, 6]$ значение $x$ положительно, $|x| = x$.$$ \left. 12 \ln(x) \right|_{3}^{a} = \left. 12 \ln(x) \right|_{a}^{6} $$$$ 12 \ln(a) - 12 \ln(3) = 12 \ln(6) - 12 \ln(a) $$

Решим полученное уравнение. Разделим обе части на 12:$$ \ln(a) - \ln(3) = \ln(6) - \ln(a) $$Соберем слагаемые, содержащие $\ln(a)$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:$$ 2\ln(a) = \ln(6) + \ln(3) $$Используя свойства логарифмов ($n \ln b = \ln(b^n)$ и $\ln b + \ln c = \ln(bc)$), получим:$$ \ln(a^2) = \ln(6 \cdot 3) $$$$ \ln(a^2) = \ln(18) $$Так как логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:$$ a^2 = 18 $$$$ a = \pm\sqrt{18} = \pm\sqrt{9 \cdot 2} = \pm3\sqrt{2} $$

Согласно условию, прямая $x = a$ должна находиться между прямыми $x = 3$ и $x = 6$, то есть $3 < a < 6$. Проверим найденные корни:

1. $a_1 = 3\sqrt{2}$. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ a_1 \approx 3 \cdot 1.414 = 4.242 $. Значение $4.242$ находится в интервале $(3, 6)$. Этот корень удовлетворяет условию.

2. $a_2 = -3\sqrt{2}$. Этот корень является отрицательным числом и не принадлежит интервалу $(3, 6)$.

Следовательно, единственное подходящее значение $a$ — это $3\sqrt{2}$.

Ответ: $a = 3\sqrt{2}$

99. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \operatorname{tg}^{2} 4x \, dx;$

2) $\int_{-\pi}^{0} 2 \cos^{2} \frac{x}{8} \, dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 5x \cos 3x \, dx;$

4) $\int_{-3}^{2} (4x - x^{2})^{2} \, dx;$

5) $\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x^{3} + 4}{x^{5}} \, dx;$

6) $\int_{\ln 2}^{\ln 3} (1 - e^{3x})^{2} \, dx;$

7) $\int_{-1}^{0} \frac{24^{x} + 5 \cdot 3^{x}}{6^{x}} \, dx;$

8) $\int_{-2}^{-1} \frac{4x^{3} + x - 3}{x^{4}} \, dx;$

9) $\int_{1}^{2} \frac{x^{2} + e^{x}}{x^{2}e^{x}} \, dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \tg^2 4x \,dx $ используем тригонометрическое тождество $ \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 $.

Интеграл принимает вид:
$ \int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \left(\frac{1}{\cos^2 4x} - 1\right) dx = \left[ \frac{1}{4}\tg 4x - x \right]_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( \frac{1}{4}\tg\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) - \frac{\pi}{24} \right) - \left( \frac{1}{4}\tg\left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{12}\right) \right) = $
$ = \left( \frac{1}{4}\tg\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{24} \right) - \left( \frac{1}{4}\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{12} \right) = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{24} \right) - \left( -\frac{1}{4}\sqrt{3} + \frac{\pi}{12} \right) = $
$ = \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\pi}{24} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{12} - \frac{\pi + 2\pi}{24} = \frac{4\sqrt{3}}{12} - \frac{3\pi}{24} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{8} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{8} $.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi}^{0} 2\cos^2 \frac{x}{8} \,dx $ используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $.

Подынтегральная функция преобразуется к виду $ 2\cos^2 \frac{x}{8} = 2 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{8})}{2} = 1 + \cos\frac{x}{4} $.
$ \int_{-\pi}^{0} \left(1 + \cos\frac{x}{4}\right) dx = \left[ x + 4\sin\frac{x}{4} \right]_{-\pi}^{0} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( 0 + 4\sin\frac{0}{4} \right) - \left( -\pi + 4\sin\frac{-\pi}{4} \right) = 0 - \left( -\pi + 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = \pi + 2\sqrt{2} $.

Ответ: $ \pi + 2\sqrt{2} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 5x \cos 3x \,dx $ используем формулу преобразования произведения в сумму $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $.

$ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\cos(5x-3x) + \cos(5x+3x)) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 2x + \cos 8x) dx = $
$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 8x \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{8}\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{8}\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right) \right) = $
$ = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2}\sin\pi + \frac{1}{8}\sin 4\pi \right) - \left( \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} + \frac{1}{8}\sin\pi \right) \right) = \frac{1}{2} \left( (0+0) - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \right) \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{8} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{8} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{-3}^{2} (4x - x^2)^2 \,dx $ сначала раскроем скобки.

$ (4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 $.
$ \int_{-3}^{2} (16x^2 - 8x^3 + x^4) dx = \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{8x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_{-3}^{2} = \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 + \frac{1}{5}x^5 \right]_{-3}^{2} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( \frac{16}{3}(2)^3 - 2(2)^4 + \frac{1}{5}(2)^5 \right) - \left( \frac{16}{3}(-3)^3 - 2(-3)^4 + \frac{1}{5}(-3)^5 \right) = $
$ = \left( \frac{16 \cdot 8}{3} - 2 \cdot 16 + \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{16 \cdot (-27)}{3} - 2 \cdot 81 - \frac{243}{5} \right) = $
$ = \left( \frac{128}{3} - 32 + \frac{32}{5} \right) - \left( -144 - 162 - \frac{243}{5} \right) = \frac{128}{3} - 32 + \frac{32}{5} + 306 + \frac{243}{5} = $
$ = \frac{128}{3} + 274 + \frac{275}{5} = \frac{128}{3} + 274 + 55 = \frac{128}{3} + 329 = \frac{128 + 987}{3} = \frac{1115}{3} $.

Ответ: $ \frac{1115}{3} $.

5) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^2 - x^3 + 4}{x^5} \,dx $ разделим числитель на знаменатель почленно.

$ \frac{x^2 - x^3 + 4}{x^5} = \frac{x^2}{x^5} - \frac{x^3}{x^5} + \frac{4}{x^5} = x^{-3} - x^{-2} + 4x^{-5} $.
$ \int_{1}^{2} (x^{-3} - x^{-2} + 4x^{-5}) dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{4x^{-4}}{-4} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^4} \right]_{1}^{2} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( -\frac{1}{2(2)^2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^4} \right) - \left( -\frac{1}{2(1)^2} + \frac{1}{1} - \frac{1}{1^4} \right) = \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{16} \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 - 1 \right) = $
$ = \left( \frac{-2+8-1}{16} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{16} + \frac{1}{2} = \frac{5+8}{16} = \frac{13}{16} $.

Ответ: $ \frac{13}{16} $.

6) Для вычисления интеграла $ \int_{\ln 2}^{\ln 3} (1 - e^{3x})^2 \,dx $ раскроем скобки.

$ (1 - e^{3x})^2 = 1 - 2e^{3x} + e^{6x} $.
$ \int_{\ln 2}^{\ln 3} (1 - 2e^{3x} + e^{6x}) dx = \left[ x - \frac{2}{3}e^{3x} + \frac{1}{6}e^{6x} \right]_{\ln 2}^{\ln 3} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( \ln 3 - \frac{2}{3}e^{3\ln 3} + \frac{1}{6}e^{6\ln 3} \right) - \left( \ln 2 - \frac{2}{3}e^{3\ln 2} + \frac{1}{6}e^{6\ln 2} \right) = $
$ = \left( \ln 3 - \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{1}{6} \cdot 729 \right) - \left( \ln 2 - \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{1}{6} \cdot 64 \right) = $
$ = \left( \ln 3 - 18 + \frac{243}{2} \right) - \left( \ln 2 - \frac{16}{3} + \frac{32}{3} \right) = \ln 3 - \ln 2 - 18 + \frac{243}{2} - \frac{16}{3} = $
$ = \ln\frac{3}{2} + \frac{-18 \cdot 6 + 243 \cdot 3 - 16 \cdot 2}{6} = \ln\frac{3}{2} + \frac{-108 + 729 - 32}{6} = \ln\frac{3}{2} + \frac{589}{6} $.

Ответ: $ \ln\frac{3}{2} + \frac{589}{6} $.

7) Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{0} \frac{24^x + 5 \cdot 3^x}{6^x} \,dx $ разделим числитель на знаменатель почленно.

$ \frac{24^x + 5 \cdot 3^x}{6^x} = \frac{24^x}{6^x} + \frac{5 \cdot 3^x}{6^x} = \left(\frac{24}{6}\right)^x + 5\left(\frac{3}{6}\right)^x = 4^x + 5\left(\frac{1}{2}\right)^x $.
$ \int_{-1}^{0} \left(4^x + 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x\right) dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} + \frac{5 \cdot (\frac{1}{2})^x}{\ln\frac{1}{2}} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{4^x}{2\ln 2} - \frac{5 \cdot 2^{-x}}{\ln 2} \right]_{-1}^{0} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( \frac{4^0}{2\ln 2} - \frac{5 \cdot 2^0}{\ln 2} \right) - \left( \frac{4^{-1}}{2\ln 2} - \frac{5 \cdot 2^{-(-1)}}{\ln 2} \right) = \left( \frac{1}{2\ln 2} - \frac{5}{\ln 2} \right) - \left( \frac{1/4}{2\ln 2} - \frac{10}{\ln 2} \right) = $
$ = \frac{1-10}{2\ln 2} - \left( \frac{1}{8\ln 2} - \frac{80}{8\ln 2} \right) = \frac{-9}{2\ln 2} - \frac{-79}{8\ln 2} = \frac{-36 + 79}{8\ln 2} = \frac{43}{8\ln 2} $.

Ответ: $ \frac{43}{8\ln 2} $.

8) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} \,dx $ разделим числитель на знаменатель почленно.

$ \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} = \frac{4x^3}{x^4} + \frac{x}{x^4} - \frac{3}{x^4} = \frac{4}{x} + x^{-3} - 3x^{-4} $.
$ \int_{-2}^{-1} \left(\frac{4}{x} + x^{-3} - 3x^{-4}\right) dx = \left[ 4\ln|x| + \frac{x^{-2}}{-2} - \frac{3x^{-3}}{-3} \right]_{-2}^{-1} = \left[ 4\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x^3} \right]_{-2}^{-1} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( 4\ln|-1| - \frac{1}{2(-1)^2} + \frac{1}{(-1)^3} \right) - \left( 4\ln|-2| - \frac{1}{2(-2)^2} + \frac{1}{(-2)^3} \right) = $
$ = \left( 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} - 1 \right) - \left( 4\ln 2 - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \right) = -\frac{3}{2} - \left( 4\ln 2 - \frac{2}{8} \right) = -\frac{3}{2} - 4\ln 2 + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} - 4\ln 2 = -\frac{5}{4} - 4\ln 2 $.

Ответ: $ -\frac{5}{4} - 4\ln 2 $.

9) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^2 + e^x}{x^2 e^x} \,dx $ разделим числитель на знаменатель почленно.

$ \frac{x^2 + e^x}{x^2 e^x} = \frac{x^2}{x^2 e^x} + \frac{e^x}{x^2 e^x} = \frac{1}{e^x} + \frac{1}{x^2} = e^{-x} + x^{-2} $.
$ \int_{1}^{2} (e^{-x} + x^{-2}) dx = \left[ -e^{-x} + \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -e^{-x} - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} $

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left( -e^{-2} - \frac{1}{2} \right) - \left( -e^{-1} - \frac{1}{1} \right) = -e^{-2} - \frac{1}{2} + e^{-1} + 1 = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} + \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} + \frac{1}{2} $.

100. На рисунке 4 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 8]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(4) - F(-3)$, где функция $F$ — одна из первообразных функции $f$.

Рис. 4

Значение выражения $F(4) - F(-3)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$, согласно формуле Ньютона-Лейбница, равно определённому интегралу функции $f(x)$ на отрезке $[-3, 4]$.

$F(4) - F(-3) = \int_{-3}^{4} f(x) \,dx$

Геометрически определённый интеграл представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x = -3$ и $x = 4$. Поскольку на данном промежутке график функции неотрицателен, значение интеграла равно площади этой фигуры.

Для вычисления площади разобьем фигуру под графиком на отрезке $[-3, 4]$ на три более простые части: трапецию на отрезке $[-3, -1]$, прямоугольник на отрезке $[-1, 1]$ и ещё одну трапецию на отрезке $[1, 4]$.

1. Площадь первой трапеции ($S_1$) на отрезке $[-3, -1]$. Её основаниями служат значения функции $f(-3)$ и $f(-1)$, а высотой — длина отрезка, равная $-1 - (-3) = 2$. Из графика видно, что $f(-1) = 6$. Чтобы найти $f(-3)$, определим уравнение прямой, проходящей через точки $(-4, 0)$ и $(-1, 6)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{6-0}{-1-(-4)} = \frac{6}{3} = 2$. Уравнение прямой имеет вид $y = 2x+b$. Подставив точку $(-4, 0)$, получим $0 = 2(-4) + b$, откуда $b=8$. Итак, $f(x) = 2x+8$ на этом участке. Тогда $f(-3) = 2(-3)+8 = 2$. Площадь первой трапеции: $S_1 = \frac{f(-3) + f(-1)}{2} \cdot (-1 - (-3)) = \frac{2+6}{2} \cdot 2 = 8$.

2. Площадь прямоугольника ($S_2$) на отрезке $[-1, 1]$. На этом отрезке функция постоянна и равна 6. Ширина прямоугольника равна $1 - (-1) = 2$, а высота равна 6. Площадь прямоугольника: $S_2 = 2 \cdot 6 = 12$.

3. Площадь второй трапеции ($S_3$) на отрезке $[1, 4]$. Её основаниями служат значения $f(1)$ и $f(4)$, а высотой — длина отрезка, равная $4 - 1 = 3$. Из графика $f(1)=6$. Чтобы найти $f(4)$, определим уравнение прямой, проходящей через точки $(1, 6)$ и $(8, 0)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{0-6}{8-1} = -\frac{6}{7}$. Уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{6}{7}x + b$. Подставив точку $(8, 0)$, получим $0 = -\frac{6}{7}(8) + b$, откуда $b=\frac{48}{7}$. Итак, $f(x) = -\frac{6}{7}x + \frac{48}{7}$ на этом участке. Тогда $f(4) = -\frac{6}{7}(4) + \frac{48}{7} = \frac{-24+48}{7} = \frac{24}{7}$. Площадь второй трапеции: $S_3 = \frac{f(1) + f(4)}{2} \cdot (4 - 1) = \frac{6 + \frac{24}{7}}{2} \cdot 3 = \frac{\frac{42+24}{7}}{2} \cdot 3 = \frac{66/7}{2} \cdot 3 = \frac{33}{7} \cdot 3 = \frac{99}{7}$.

Искомое значение равно общей площади, которая является суммой площадей этих трех фигур: $S = S_1 + S_2 + S_3 = 8 + 12 + \frac{99}{7} = 20 + \frac{99}{7} = \frac{140}{7} + \frac{99}{7} = \frac{239}{7}$.

Ответ: $\frac{239}{7}$