Страница 31 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадет две единицы?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула для вычисления вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов ($n$).

При броске одного игрального кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поскольку бросают два кубика, и результаты бросков являются независимыми событиями, общее количество комбинаций можно найти, перемножив число возможных исходов для каждого кубика.

Таким образом, общее число равновозможных исходов составляет: $n = 6 \times 6 = 36$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$).

Благоприятствующим является исход, при котором на обоих кубиках выпадает единица. Существует только одна такая комбинация: (1 на первом кубике, 1 на втором кубике).

Следовательно, число благоприятствующих исходов: $m = 1$.

3. Рассчитаем вероятность.

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P(\text{выпало две единицы}) = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

151. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадет два чётных числа?

При броске одного игрального кубика возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Когда бросают два игральных кубика, общее число всех равновозможных элементарных исходов равно произведению числа исходов для каждого кубика. Обозначим общее число исходов как $N$.

$N = 6 \times 6 = 36$

Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это когда на обоих кубиках выпадают чётные числа. На гранях одного кубика есть три чётных числа: 2, 4, 6.

Таким образом, для первого кубика существует 3 благоприятных исхода, и для второго кубика — также 3 благоприятных исхода. Чтобы найти общее количество комбинаций, где оба числа чётные, нужно перемножить количество благоприятных исходов для каждого кубика. Обозначим число благоприятных исходов как $m$.

$m = 3 \times 3 = 9$

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$ по классической формуле вероятности:

$P = \frac{m}{N} = \frac{9}{36}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{1}{4}$

Для удобства можно представить этот результат в виде десятичной дроби:

$P = 0.25$

Ответ: 0.25

152. Дважды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только во второй раз?

Для решения этой задачи рассмотрим два независимых события: результат первого броска и результат второго броска игрального кубика.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, состоит из двух условий, которые должны выполниться одновременно:
1. При первом броске шестёрка не выпала.
2. При втором броске шестёрка выпала.

Найдём вероятность каждого из этих событий по отдельности.
У игрального кубика 6 граней. Вероятность выпадения любой из граней равна $ \frac{1}{6} $.

Вероятность того, что при первом броске не выпадет шестёрка, равна вероятности выпадения любого из пяти других чисел (1, 2, 3, 4 или 5). Эта вероятность равна:
$ P_1 = 1 - P(\text{выпала шестёрка}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $.

Вероятность того, что при втором броске выпадет шестёрка, равна:
$ P_2 = \frac{1}{6} $.

Так как броски являются независимыми событиями, для нахождения вероятности того, что они произойдут одновременно, нужно перемножить их вероятности:
$ P = P_1 \cdot P_2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} $.

Ответ: $ \frac{5}{36} $

153. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в первый раз?

Событие, вероятность которого нужно найти, состоит в том, что при трех бросках игрального кубика шестёрка выпадет только в первый раз. Это означает, что должны произойти три независимых события одновременно:

• При первом броске выпадет "6".
• При втором броске выпадет любое число, кроме "6".
• При третьем броске выпадет любое число, кроме "6".

Вероятность выпадения "6" при одном броске кубика составляет $P(6) = \frac{1}{6}$, так как на кубике одна грань с шестёркой из шести возможных.

Вероятность того, что "6" не выпадет, составляет $P(\text{не 6}) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Этому событию благоприятствуют 5 исходов (выпадение 1, 2, 3, 4 или 5).

Поскольку броски являются независимыми событиями, для нахождения вероятности их одновременного наступления нужно перемножить их вероятности:
$P(\text{искомое событие}) = P(\text{первый бросок - "6"}) \times P(\text{второй бросок - не "6"}) \times P(\text{третий бросок - не "6"})$

Подставим значения вероятностей в формулу:
$P = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{1 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6} = \frac{25}{216}$

Ответ: $\frac{25}{216}$

154. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна $3\%$, второго — $4\%$, третьего — $1\%$. Какова вероятность того, что электрическая цепь будет разомкнута?

Электрическая цепь с параллельным соединением выключателей будет разомкнута только в том случае, если выйдут из строя все три выключателя одновременно. Если хотя бы один выключатель останется в рабочем состоянии (замкнут), ток сможет пройти через него, и цепь не будет разомкнута.

Обозначим вероятности выхода из строя для каждого выключателя:
$P_1$ — вероятность выхода из строя первого выключателя, $P_1 = 3\% = 0,03$.
$P_2$ — вероятность выхода из строя второго выключателя, $P_2 = 4\% = 0,04$.
$P_3$ — вероятность выхода из строя третьего выключателя, $P_3 = 1\% = 0,01$.

Выход из строя каждого выключателя является независимым событием. Вероятность того, что произойдут все три независимых события одновременно, равна произведению вероятностей этих событий. Эта и есть искомая вероятность того, что цепь будет разомкнута.

$P(\text{цепь разомкнута}) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$P(\text{цепь разомкнута}) = 0,03 \cdot 0,04 \cdot 0,01 = 0,0012 \cdot 0,01 = 0,000012$

Таким образом, вероятность того, что электрическая цепь будет разомкнута, составляет 0,000012. В процентах это значение равно $0,000012 \cdot 100\% = 0,0012\%$.

Ответ: 0,000012.

155. В ящике лежат 4 белых и 3 чёрных шара. Наугад из ящика достают два шара и кладут их обратно. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белого цвета?

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность того, что оба раза из ящика будут вынуты по два белых шара.

Всего в ящике находится $4$ белых и $3$ чёрных шара, то есть $4 + 3 = 7$ шаров.

Обозначим событие A — при первой операции из ящика достали два белых шара.

Вычислим вероятность этого события.

Общее число способов достать 2 шара из 7 равно числу сочетаний из 7 по 2:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

Число способов достать 2 белых шара из 4 имеющихся белых шаров равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Вероятность события A (в первый раз достали два белых шара) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{C_4^2}{C_7^2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

Согласно условию, после первой операции шары возвращают в ящик, и операцию повторяют ещё раз. Это означает, что вторая операция является независимым событием с теми же начальными условиями.

Пусть событие B — при второй операции из ящика достали два белых шара. Вероятность этого события такая же, как и у события A:

$P(B) = \frac{2}{7}$

Нам нужно найти вероятность того, что произойдут оба события: и в первый, и во второй раз будут вынуты белые шары. Так как события независимы, искомая вероятность равна произведению вероятностей этих событий:

$P(\text{все шары белые}) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{49}$

Ответ: $\frac{4}{49}$

156. Из коробки, в которой лежат 5 синих и 9 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар синий, а второй — красный.

Для решения этой задачи нужно найти вероятность последовательного наступления двух зависимых событий. Обозначим события:
Событие A: первый взятый шар — синий.
Событие B: второй взятый шар — красный.

Изначально в коробке находится $5$ синих и $9$ красных шаров. Общее количество шаров равно:
$N_1 = 5 + 9 = 14$

Вероятность события A (вытащить синий шар первым) вычисляется как отношение количества синих шаров к общему количеству шаров:
$P(A) = \frac{\text{количество синих шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{5}{14}$

После того как первый синий шар был вытащен, в коробке осталось на один шар меньше. Новое состояние коробки:
Количество синих шаров: $5 - 1 = 4$
Количество красных шаров: $9$ (не изменилось)
Новое общее количество шаров: $N_2 = 14 - 1 = 13$

Теперь вычислим вероятность события B (вытащить красный шар вторым) при условии, что событие A уже произошло. Эта условная вероятность $P(B|A)$ равна отношению количества красных шаров к новому общему количеству шаров:
$P(B|A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{9}{13}$

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно (сначала вытащат синий шар, а затем красный), равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго:
$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(A \text{ и } B) = \frac{5}{14} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{14 \cdot 13} = \frac{45}{182}$

Ответ: $\frac{45}{182}$

157. Трое рабочих изготавливают соответственно 40%, 30% и 30% всех изделий. В их работе брак соответственно составляет 2%, 3% и 1%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Введем следующие события:

• $H_1$ – изделие изготовлено первым рабочим.
• $H_2$ – изделие изготовлено вторым рабочим.
• $H_3$ – изделие изготовлено третьим рабочим.
• $A$ – взятое наугад изделие является бракованным.

Из условия задачи нам известны вероятности того, что изделие было изготовлено каждым из рабочих:

• $P(H_1) = 40\% = 0.4$
• $P(H_2) = 30\% = 0.3$
• $P(H_3) = 30\% = 0.3$

Также известны условные вероятности того, что изделие будет бракованным, при условии, что оно было изготовлено определенным рабочим:

• $P(A|H_1) = 2\% = 0.02$ (вероятность брака у первого рабочего)
• $P(A|H_2) = 3\% = 0.03$ (вероятность брака у второго рабочего)
• $P(A|H_3) = 1\% = 0.01$ (вероятность брака у третьего рабочего)

Вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным, вычисляется по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A) = 0.4 \cdot 0.02 + 0.3 \cdot 0.03 + 0.3 \cdot 0.01$

Выполним вычисления:

$P(A) = 0.008 + 0.009 + 0.003 = 0.02$

Таким образом, вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным, составляет 0.02, или 2%.

Ответ: 0,02

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,7, второго — 0,8, третьего — 0,6. Какова вероятность того, что будет:

1) три попадания;

2) только одно попадание?

Для решения данной задачи по теории вероятностей, введем обозначения для основных событий и их вероятностей.

Пусть:

• $A_1$ — событие, означающее попадание первого стрелка;
• $A_2$ — событие, означающее попадание второго стрелка;
• $A_3$ — событие, означающее попадание третьего стрелка.

Вероятности этих событий даны в условии:

• $P(A_1) = 0,7$
• $P(A_2) = 0,8$
• $P(A_3) = 0,6$

Также нам понадобятся вероятности противоположных событий (промахов). Обозначим их $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ и $\overline{A_3}$:

• Вероятность промаха первого стрелка: $P(\overline{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,7 = 0,3$
• Вероятность промаха второго стрелка: $P(\overline{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,8 = 0,2$
• Вероятность промаха третьего стрелка: $P(\overline{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,6 = 0,4$

Поскольку выстрелы независимы, вероятность совместного наступления нескольких событий равна произведению их вероятностей.

1) три попадания;

Это событие означает, что все три стрелка попали в цель. Вероятность этого события $P(A_{123})$ равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка.

$P(A_{123}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Подставляем значения:

$P(A_{123}) = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,6 = 0,336$

Ответ: 0,336

2) только одно попадание?

Это событие может произойти тремя взаимоисключающими способами:

1. Попал только первый стрелок (второй и третий промахнулись).
2. Попал только второй стрелок (первый и третий промахнулись).
3. Попал только третий стрелок (первый и второй промахнулись).

Найдем вероятность каждого из этих случаев:

1. Вероятность того, что попадет только первый стрелок:

$P(B_1) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,4 = 0,056$

2. Вероятность того, что попадет только второй стрелок:

$P(B_2) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,4 = 0,096$

3. Вероятность того, что попадет только третий стрелок:

$P(B_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = 0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,6 = 0,036$

Общая вероятность того, что будет только одно попадание, равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P(B) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3)$

$P(B) = 0,056 + 0,096 + 0,036 = 0,188$

Ответ: 0,188

159. В одном ящике лежат 5 красных, 9 белых и 8 чёрных шаров, а в другом — 3 красных, 7 белых и 10 чёрных шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения задачи необходимо вычислить вероятность того, что наугад взятые шары из двух ящиков окажутся одного цвета. Это событие состоит из трёх несовместных событий: оба шара красные, оба шара белые или оба шара чёрные. Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей этих трёх событий.

1. Расчет общего количества шаров в каждом ящике

Сначала определим общее количество шаров в каждом ящике, чтобы найти вероятности извлечения шара определённого цвета.

Количество шаров в первом ящике: $5 (\text{красных}) + 9 (\text{белых}) + 8 (\text{чёрных}) = 22$ шара.

Количество шаров во втором ящике: $3 (\text{красных}) + 7 (\text{белых}) + 10 (\text{чёрных}) = 20$ шаров.

2. Расчет вероятности для каждого возможного случая

Так как выбор шара из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара будут определённого цвета, равна произведению вероятностей извлечения шара этого цвета из каждого ящика.

Случай 1: Оба шара красные

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P_1(К) = \frac{5}{22}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P_2(К) = \frac{3}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся красными: $P(КК) = P_1(К) \times P_2(К) = \frac{5}{22} \times \frac{3}{20} = \frac{15}{440}$.

Случай 2: Оба шара белые

Вероятность вытащить белый шар из первого ящика: $P_1(Б) = \frac{9}{22}$.

Вероятность вытащить белый шар из второго ящика: $P_2(Б) = \frac{7}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся белыми: $P(ББ) = P_1(Б) \times P_2(Б) = \frac{9}{22} \times \frac{7}{20} = \frac{63}{440}$.

Случай 3: Оба шара чёрные

Вероятность вытащить чёрный шар из первого ящика: $P_1(Ч) = \frac{8}{22}$.

Вероятность вытащить чёрный шар из второго ящика: $P_2(Ч) = \frac{10}{20}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся чёрными: $P(ЧЧ) = P_1(Ч) \times P_2(Ч) = \frac{8}{22} \times \frac{10}{20} = \frac{80}{440}$.

3. Расчет итоговой вероятности

Итоговая вероятность того, что взятые шары будут одного цвета, равна сумме вероятностей трёх описанных выше несовместных событий.

$P(\text{один цвет}) = P(КК) + P(ББ) + P(ЧЧ) = \frac{15}{440} + \frac{63}{440} + \frac{80}{440} = \frac{15 + 63 + 80}{440} = \frac{158}{440}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(\text{один цвет}) = \frac{158 \div 2}{440 \div 2} = \frac{79}{220}$.

Ответ: $\frac{79}{220}$