Номер 102, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 4$ и $y = 0$;

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$ и $y = 0$;

3) графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$ и $y = 0$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (оси Ox) фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и прямыми $x = a$, $x = b$ и $y = 0$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 4$ и $y = 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ пересекает ось $y = 0$ в точке $x = 0$. Таким образом, пределы интегрирования будут от $a = 0$ до $b = 4$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Ответ: $8\pi$.

2) Фигура ограничена синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования заданы: от $a = \frac{\pi}{4}$ до $b = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2 x dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (1 - \cos(2x)) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\pi/4}^{3\pi/4} = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}(-1)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(1)\right) \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2\pi}{4} + 1 \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$.

3) Фигура ограничена графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 2$ и $y = 0$.

Пределы интегрирования заданы: от $a = 0$ до $b = 2$.

Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 + 1)^2 dx$

Раскрываем скобки в подынтегральном выражении:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right)$

Приводим к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 15}{15} \right) = \pi \left( \frac{96 + 80 + 30}{15} \right) = \pi \left( \frac{206}{15} \right) = \frac{206\pi}{15}$

Ответ: $\frac{206\pi}{15}$.