Номер 110, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Найдите значение выражения:

1) $\frac{P_{10}-P_9}{9P_8}$

2) $\frac{A_{15}^4+A_{14}^5}{A_{15}^3}$

3) $\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9}$

1) Для решения данной задачи воспользуемся определением перестановки (факториала): $P_n = n!$.

Выражение имеет вид: $\frac{P_{10} - P_9}{9P_8} = \frac{10! - 9!}{9 \cdot 8!}$.

Мы знаем, что $n! = (n-1)! \cdot n$. Используем это свойство для упрощения числителя:

$10! = 10 \cdot 9!$

Подставим это значение в числитель:

$10! - 9! = 10 \cdot 9! - 1 \cdot 9! = (10-1) \cdot 9! = 9 \cdot 9!$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{9 \cdot 9!}{9 \cdot 8!}$

Сократим множитель 9 в числителе и знаменателе, а также представим $9!$ как $9 \cdot 8!$:

$\frac{9!}{8!} = \frac{9 \cdot 8!}{8!} = 9$

Ответ: 9

2) Для решения воспользуемся формулой для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Разделим выражение на два слагаемых:

$\frac{A_{15}^4 + A_{14}^5}{A_{15}^3} = \frac{A_{15}^4}{A_{15}^3} + \frac{A_{14}^5}{A_{15}^3}$

Найдем значение первого слагаемого, используя свойство $A_n^k = A_n^{k-1}(n-k+1)$:

$\frac{A_{15}^4}{A_{15}^3} = \frac{A_{15}^3 \cdot (15-4+1)}{A_{15}^3} = \frac{A_{15}^3 \cdot 12}{A_{15}^3} = 12$

Теперь найдем значение второго слагаемого, расписав размещения по формуле:

$\frac{A_{14}^5}{A_{15}^3} = \frac{14!/(14-5)!}{15!/(15-3)!} = \frac{14!/9!}{15!/12!} = \frac{14!}{9!} \cdot \frac{12!}{15!}$

Упростим полученное выражение, используя $15! = 15 \cdot 14!$ и $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$:

$\frac{14!}{9!} \cdot \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{15 \cdot 14!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{15}$

Выполним вычисления:

$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{15} = \frac{12}{3} \cdot \frac{10}{5} \cdot 11 = 4 \cdot 2 \cdot 11 = 88$

Сложим полученные значения:

$12 + 88 = 100$

Ответ: 100

3) Для решения задачи используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$.

Подставим формулы в исходное выражение:

$\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9} = \frac{\frac{12!}{(12-4)!} \cdot 7!}{\frac{11!}{(11-9)!}} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}}$

Преобразуем дробь:

$\frac{12! \cdot 7!}{8!} \cdot \frac{2!}{11!}$

Используем свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$ для упрощения:

$12! = 12 \cdot 11!$

$8! = 8 \cdot 7!$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!}$

Сократим одинаковые множители $11!$ и $7!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: 3