Номер 141, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. В выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})^{30}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых является рациональными числами?

Для нахождения количества рациональных слагаемых в разложении выражения $(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})^{30}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$, $b = \sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $n=30$.

Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = \binom{30}{k} (\sqrt[3]{5})^{30-k} (\sqrt{3})^k = \binom{30}{k} (5^{1/3})^{30-k} (3^{1/2})^k = \binom{30}{k} 5^{\frac{30-k}{3}} 3^{\frac{k}{2}}$

где $k$ — целое число, принимающее значения от 0 до 30.

Для того чтобы слагаемое $T_{k+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы степени, в которые возводятся числа 5 и 3, были целыми числами. Биномиальный коэффициент $\binom{30}{k}$ всегда является целым, а значит, и рациональным числом.

Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

1. Показатель степени у числа 5, равный $\frac{30-k}{3}$, должен быть целым числом. Это означает, что разность $(30-k)$ должна быть кратна 3. Поскольку 30 кратно 3, это условие равносильно тому, что $k$ должно быть кратно 3.

2. Показатель степени у числа 3, равный $\frac{k}{2}$, должен быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 2.

Итак, для того чтобы член разложения был рациональным, значение $k$ должно быть одновременно кратно 2 и 3. Это означает, что $k$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть $НОК(2, 3) = 6$.

Найдем все значения $k$ в диапазоне $0 \le k \le 30$, которые кратны 6:

$k \in \{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$

Всего таких значений 6.

Каждому из этих значений $k$ соответствует одно рациональное слагаемое в разложении. Следовательно, количество рациональных слагаемых равно 6.

Ответ: 6